定理2(中心極限定理) 設(shè) 為n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量，其共同分布不為正態(tài)或未知，但其均值 和方差 都存在，則在n相當(dāng)大時，樣本均值 近似服從正態(tài)分布 。

　　這個定理表明:無論共同的分布是什么 (離散分布或連續(xù)分布，正態(tài)分布或非正態(tài)分布),只要獨立同分布隨機(jī)變量的個數(shù)n相當(dāng)大時， 的分布總近似于正態(tài)分布，這一結(jié)論是深刻的，也是重要的，這說明平均值運算常可從非正態(tài)分布獲得正態(tài)分布。

　　[例1.2-19} 圖1.2-28中我們選了三個不同的共同分布:

　�、� 均勻分布(無峰)

　�、� 雙單分布

　　Ⅲ 指數(shù)分布(高度偏斜)

　　假如，n=2，那么在Ⅰ的場合，2個均勻分布的變量之均值 的分布呈三角形，在Ⅱ的場合， 的分布出現(xiàn)中間高，在Ⅲ的場合 的分布的峰開始偏離原點。在n=5時，三種場合都呈現(xiàn)單峰狀，并且前兩個還有很好的對稱性。在n=30時，三種場合下 的分布幾乎完全相同，只在位置上有些差別，這個差別是由原始共同分布的均值不同而引起的，另外，這時正態(tài)分布的峰都很高，那是因為平均后的標(biāo)準(zhǔn)差為：

　　圖1.2-28有很強的直觀性和說服力，這就是中心極限定理的魅力。

　　圖1.2-28有很強的直觀性和說服力，這就是中心極限定理的魅力。

　　在統(tǒng)計中一個統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差，或簡稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。特別地，樣本均值 的標(biāo)準(zhǔn)誤 ，無論是正態(tài)樣本均值或非正態(tài)樣本均值都有或近似有:

　　它隨著n的增加而減少。圖1.2-29表明這種關(guān)系，注意到在n<10時， 下降較快，而當(dāng)n>10時， 下降漸趨緩慢。

　　[例1.2-20] 我們常常對一個零件的質(zhì)量特性只測一次讀數(shù)，并用這個讀數(shù)去估計過程輸出的質(zhì)量特性，一個很容易減少測量系統(tǒng)誤差的方法是:對同一個零件的質(zhì)量特性作兩次或更多次重復(fù)測量，并用其均值去估計過程輸出的質(zhì)量特性，這就可以減少標(biāo)準(zhǔn)差，從而測量系統(tǒng)的精度就自動增加。當(dāng)然這不是回避使用更精密量具的理由，而是提高現(xiàn)有量具精度的簡易方法，多次測量的平均值要比單次測量值更具有穩(wěn)定性。考試論壇