第五節(jié) 測量誤差和測量不確定度 

一、測量誤差和測量結(jié)果修正 

(一)測量誤差 
測量結(jié)果減去被測量的真值所得的差，稱為測量誤差，簡稱誤差。測量結(jié)果是人們認(rèn)識的結(jié)果，不僅與量的本身有關(guān)，而且與測量程序、測量儀器、測量環(huán)境以及測量人員等有關(guān)。而被測量真值是與被測量的定義一致的某個值，它是量的定義的完整體現(xiàn)，是與給定的特定量的定義完全一致的值，只有通過完善的或完美無缺的測量才能獲得。真值從本質(zhì)上說是不能確定的。但在實踐中，對于給定的目的，并不一定需要獲得特定量的"真值"，而只需要與"真值"足夠接近的值。這樣的值就是約定真值，對于給定的目的可用它代替真值。例如:可以將通過校準(zhǔn)或檢定得出的某特定量的值，或由更高準(zhǔn)確度等級的測量儀器測得的值，或多次測量的結(jié)果所確定的值，作為該量的約定真值。 
測量結(jié)果的誤差往往是由若干個分量組成的，這些分量按其特性可分為隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差兩大類，而且無例外地取各分量的代數(shù)和。換言之，任意一個誤差，均可分解為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和，即可用下式表示: 
誤差=測量結(jié)果-真值=(測量結(jié)果-總體均值)+(總體均值-真值) 
=隨機(jī)誤差+系統(tǒng)誤差 
測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得的結(jié)果的平均值之差，稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差大抵來源于影響量的變化，這種變化在時間上和空間上是不可預(yù)知的或隨機(jī)的，它會引起被測量重復(fù)觀測值的變化，故稱之為"隨機(jī)效應(yīng)"�？梢哉J(rèn)為，正是這種隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致了重復(fù)觀測中的分散性。 
在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差，稱為系統(tǒng)誤差。由于只能進(jìn)行有限次數(shù)的重復(fù)測量，真值也只能用約定值代替，因此可能確定的系統(tǒng)誤差只是其估計值，并具有一定的不確定度。系統(tǒng)誤差大抵來源于影響量，它對測量結(jié)果的影響若已識別，則可定量表述，故稱之為"系統(tǒng)效應(yīng)"。該效應(yīng)的大小若是顯著的，則可通過估計的修正值予以補(bǔ)償。 
(二)測量結(jié)果修正 
對系統(tǒng)誤差尚未進(jìn)行修正的測量結(jié)果，稱為未修正結(jié)果。當(dāng)由測量儀器獲得的只是單個示值時，該示值通常是未修正結(jié)果；而當(dāng)獲得幾個示值時，未修正結(jié)果通常由這幾個示值的算術(shù)平均值求得。 
例如:用某尺測量圓柱直徑，單次觀測所得的示值為14.7mm，則該測得值是未修正結(jié)果。如果進(jìn)行10次測量，所得的示值分別為14.9、14.6、14.8、14.6、14.9、14.7、14.7、14.8、14.9、14.8(mm)，則該測量列的未修正結(jié)果為其算術(shù)平均值，即(14.9+14.6+…+14.8)/10=14.77≈14.8(mm)。 
對系統(tǒng)誤差進(jìn)行修正后的測量結(jié)果，稱為已修正結(jié)果。用代數(shù)方法與未修正測量結(jié)果相加，以補(bǔ)償其系統(tǒng)誤差的值，稱為修正值。在上述例子中，若該尺經(jīng)量塊檢定，其修正值為-0.1mm，則單次測量的已修正結(jié)果為(14.7-0.1)mm=14.6mm；而10次測量的已修正結(jié)果為(14.8-0.1)mm=14.7mm。 
修正值等于負(fù)的系統(tǒng)誤差，也就是說，加上某個修正值就像扣掉某個系統(tǒng)誤差，其效果是一樣的。即: 
真值=測量結(jié)果+修正值=測量結(jié)果-誤差 
需要強(qiáng)調(diào)指出的是:系統(tǒng)誤差可以用適當(dāng)?shù)男拚�值來估計并予以補(bǔ)償，但這種補(bǔ)償是不完全的，也即修正值本身就含有不確定度。當(dāng)測量結(jié)果以代數(shù)和的方式與修正值相加之后，其系統(tǒng)誤差的絕對值會比修正前的小，但不可能為零，也即修正值只能對系統(tǒng)誤差進(jìn)行有限程度的補(bǔ)償。 

二、測量不確定度

(一)基本概念 
測量的目的是為了確定被測量的量值。測量結(jié)果的質(zhì)量(品質(zhì))是量度測量結(jié)果可信程度的最重要的依據(jù)。測量不確定度就是對測量結(jié)果質(zhì)量的定量表征，測量結(jié)果的可用性很大程度上取決于其不確定度的大小。所以，測量結(jié)果表述必須同時包含賦予被測量的值及與該值相關(guān)的測量不確定度，才是完整并有意義的。 
表征合理地賦予被測量之值的分散性、與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，稱為測量不確定度。從詞義上理解，"不確定度"即懷疑或不肯定，因此，廣義上說，測量不確定度意味著對測量結(jié)果可信性、有效性的懷疑程度或不肯定程度。實際上，由于測量不完善和人們認(rèn)識的不足，所得的被測量值具有分散性，即每次測得的結(jié)果不是同一值，而是以一定的概率分散在某個區(qū)域內(nèi)的多個值。雖然客觀存在的系統(tǒng)誤差是一個相對確定的值，但由于我們無法完全認(rèn)知或掌握它，而只能認(rèn)為它是以某種概率分布于某區(qū)域內(nèi)的，且這種概率分布本身也具有分散性。測量不確定度正是一個說明被測量之值分散性的參數(shù)，測量結(jié)果的不確定度反映了人們在對被測量值準(zhǔn)確認(rèn)識方面的不足。即使經(jīng)過對已確定的系統(tǒng)誤差的修正后，測量結(jié)果仍只是被測量值的一個估計值，這是因為，不僅測量中存在的隨機(jī)因素將產(chǎn)生不確定度，而且，不完全的系統(tǒng)因素修正也同樣存在不確定度。 
不要把誤差與不確定度混為一談。測量不確定度表明賦予被測量之值的分散性，是通過對測量過程的分析和評定得出的一個區(qū)間。測量誤差則是表明測量結(jié)果偏離真值的差值。經(jīng)過修正的測量結(jié)果可能非常接近于真值(即誤差很小)，但由于認(rèn)識不足，人們賦予它的值卻落在一個較大區(qū)間內(nèi)(即測量不確定度較大)。 
為了表征賦予被測量之值的分散性，測量不確定度往往用標(biāo)準(zhǔn)差表示。在實際使用中，由于人們往往希望知道測量結(jié)果的置信區(qū)間，因此測量不確定度也可用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)或說明了置信水平的區(qū)間的半寬表示。為了區(qū)分這兩種不同的表示方法，分別稱它們?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度。 
本小節(jié)涉及的某些內(nèi)容與概念需用概率統(tǒng)計的概念與術(shù)語，可參見《質(zhì)量專業(yè)理論與實務(wù)(中級)》第一章。 
1.標(biāo)準(zhǔn)不確定度 
以標(biāo)準(zhǔn)差表示的測量不確定度，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用符號u表示，它不是由測量標(biāo)準(zhǔn)引起的不確定度，而是指不確定度以標(biāo)準(zhǔn)差來表征被測量之值的分散性。 
由于測量結(jié)果的不確定度往往由許多原因引起，對每個不確定度來源評定的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量有兩類評定方法，即A類評定和B類評定。 
用對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱為不確定度的A類評定，有時也稱為A類不確定度評定。所得到的相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為A類不確定度分量，用符號uA表示。 
用不同于對觀測列進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱為不確定度的B類評定，有時也稱為B類不確定度評定。所得到的相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度稱為B類不確定度分量，用符號uB表示。 
當(dāng)測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，等于這些其他量的方差和協(xié)方差適當(dāng)和的正平方根，稱之為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用符號uc表示。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度是測量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差的估計值，它表征了測量結(jié)果的分散性。 
2.擴(kuò)展不確定度 
用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)或說明了置信水平的區(qū)間的半寬表示的測量不確定度，稱為擴(kuò)展不確定度，通常用符號U表示。 
擴(kuò)展不確定度確定的是測量結(jié)果的一個區(qū)間，合理地賦予被測量之值的分布的大部分可望包含于此區(qū)間。實際上，擴(kuò)展不確定度是由合成不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，它是將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度擴(kuò)展了k倍得到的，即U=kuc，k稱為包含因子。通常情況下，k取2(或3)。 
〔注〕假設(shè)測量結(jié)果是標(biāo)準(zhǔn)差為uc的正態(tài)分布，它位于〔-kuc，kuc〕之間的概率為2Φ(k)-1，取k=2、3時，2Φ(k)-1=95.45%、99.73%，當(dāng)取k=2.575時，2Φ(k)-1=9900%。 
如果只知道，uc2的估計值sc2為自由度v的X2分布，則對于置信度為γ=1-α而言，k=tγ(ν)，tγ(ν)是自由度為ν的t分布的γ=1-α分位數(shù)。 
(二)測量不確定度的來源 
測量過程中有許多引起測量不確定度的來源，它們可能來自以下十個方面: 
1.對被測量的定義不完整或不完善 
例如:定義被測量是一根標(biāo)稱值為1m的鋼棒的長度，若要求測準(zhǔn)到微米級，則被測量的定義就不夠完整，因為此時被測鋼棒受溫度和壓力的影響已較明顯，而這些條件沒有在定義中說明。由于定義的不完整，將使測量結(jié)果中引入溫度和壓力影響的不確定度。這時，完整的定義應(yīng)是:標(biāo)稱值為1m的鋼棒在25.0℃和101325 Pa時的長度。若在定義要求的溫度和壓力下測量，就可避免由此引起的不確定度。 
2.實現(xiàn)被測量定義的方法不理想 
如上例，被測量的定義雖然完整，但由于測量時溫度和壓力實際上達(dá)不到定義的要求(包括由于溫度和壓力的測量本身存在不確定度)，使測量結(jié)果中引人了不確定度。 
3.取樣的代表性不夠，即被測量的樣本不能代表所定義的被測量 
例如:測量某種介質(zhì)材料在給定頻率下的相對介質(zhì)常數(shù)，由于測量方法和測量設(shè)備的限制，只能取這種材料的一部分作為樣塊進(jìn)行測量。如果測量所用的樣塊在材料的成分或均勻性方面不能完全代表定義的被測量，則樣塊將引起不確定度。 
4.對被測量過程受環(huán)境影響的認(rèn)識不周全，或?qū)Νh(huán)境條件的測量與控制不完善 
同樣以上述鋼棒為例，不僅溫度和壓力影響其長度，實際上，濕度和鋼棒的支撐方式都有明顯影響。但由于認(rèn)識不足，沒有采取措施，就會引起不確定度。 
5.對模擬儀器的讀數(shù)存在人為偏差(偏移) 
模擬式儀器在讀取其示值時，一般是估讀到最小分度值的1/10。由于觀測者的位置和觀測者個人習(xí)慣不同等原因，可能對同一狀態(tài)下的顯示值會有不同的估讀值，這種差異將產(chǎn)生不確定度。 
6.測量儀器的分辨力或鑒別力不夠 
數(shù)字式測量儀器的不確定度來源之一，是其指示裝置的分辨力。即使指示為理想重復(fù)，這種重復(fù)性所貢獻(xiàn)的測量不確定度仍然不為零，這是因為，當(dāng)輸入信號在一個已知的區(qū)間內(nèi)變動時，該儀器卻給出了同樣的指示。 
7.賦予測量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值不準(zhǔn) 
通常的測量是通過被測量與測量標(biāo)準(zhǔn)的給定值進(jìn)行比較實現(xiàn)的，因此，該測量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度將直接引入測量結(jié)果。例如:用天平測量時，測得質(zhì)量的不確定度中包括了標(biāo)準(zhǔn)砝碼的不確定度。 
8.用于數(shù)據(jù)計算的常量和其他參量不準(zhǔn) 
例如:在測量黃銅的長度隨溫度變化時，要用到黃銅的線熱膨脹系數(shù)。查有關(guān)數(shù)據(jù)手冊可以找到所需的值，與此同時，也可從手冊上查出或計算出該值的不確定度，它同樣是測量結(jié)果不確定度的一個來源。 
9.測量方法和測量程序的近似性和假定性 
例如:被測量表達(dá)式的近似程度，自動測試程序的迭代程度，電測量中由于測量系統(tǒng)不完善引起的絕緣漏電、熱電勢、引線電阻上的壓降等，均會引起不確定度。 
10.在表面上看來完全相同的條件下，被測量重復(fù)觀測值的變化 
在實際工作中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，無論怎樣控制環(huán)境條件以及各類對測量結(jié)果可能產(chǎn)生影響的因素，而最終的測量結(jié)果總會存在一定的分散性，即多次測量的結(jié)果并不完全相同。這種現(xiàn)象是一種客觀存在，是由一些隨機(jī)效應(yīng)造成的。 
上述不確定度的來源不一定是獨(dú)立的，例如，第10項可能與前面各項都有關(guān)。
(三)測量不確定度的評定 
1.測量模型的建立 
被測量指的是作為測量對象的特定量。在實際測量的很多情況下，被測量Y(輸出量)不能直接測得，而是由N個其他量X1，X2，…，XN(輸入量)通過函數(shù)關(guān)系f來確定的: 
Y=f(X1，X2，…，XN)(5.5-1) 
上式表示的這種函數(shù)關(guān)系，就稱為測量模型，或測量過程的數(shù)學(xué)模型。 
測量模型f代表所使用的測量程序和評定方法，它描述如何從輸入量Xi的值求得輸出量Y的值。輸入量X1，X2，…，XN本身可看做被測量，也可能取決于其他量，甚至包括系統(tǒng)效應(yīng)的修正值和修正因子，因此，函數(shù)關(guān)系式f可能非常復(fù)雜，以至于不能明確地表示出來。當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型有時也可能簡單到Y(jié)=X。例如:用卡尺測量工件的尺寸，工件的尺寸就等于卡尺的示值。 
數(shù)學(xué)模型不是惟一的。采用不同的測量方法和不同的測量程序，就可能有不同的數(shù)學(xué)模型。例如:一個隨溫度t變化的電阻器兩端的電壓為V，在溫度為t0時的電阻為R0，電阻器的溫度系數(shù)為α，則電阻器的損耗功率P(輸出量或被測量)取決于V，R0，α和t(輸入量)，即: 
P=f(V，R0，α，t)=V2/R0〔1+α(t-t0)] (5.5-2) 
同樣是測量該電阻器的損耗功率P，我們也可采用測量其端電壓和流經(jīng)電阻的電流I來獲得，則P的數(shù)學(xué)模型就變成: P=f(V，I)=VI (5.5-30) 
數(shù)學(xué)模型可用已知的物理公式求得，也可用實驗的方法確定，有時甚至只能用數(shù)值方程給出。如果數(shù)據(jù)表明，f未能將測量過程模型化至測量所要求的準(zhǔn)確度，則必須在f中增加其他輸入量，即增加影響量。例如:在電阻功率的測量中，增加電阻上已知的溫度非均勻分布、電阻溫度系數(shù)的非線性關(guān)系、電阻值與大氣壓力的關(guān)系等，直至測量結(jié)果滿足要求。 
在輸入量X1，X2，…，XN中，一類是當(dāng)前直接測定的量，其值和不確定度得自于單一觀測、重復(fù)觀測，或依據(jù)經(jīng)驗的調(diào)整等，并可能涉及儀器讀數(shù)的修正值，以及諸如環(huán)境溫度、大氣壓力、濕度等影響量修正值的確定。而另一類則是從外部引入的量，例如:與已校準(zhǔn)的測量標(biāo)準(zhǔn)、有證參考物質(zhì)相關(guān)的量，或從手冊中查出的參考數(shù)據(jù)等。 
設(shè)式(5.5-1)中被測量Y的估計值，即輸出估計值為y，輸入量Xi的估計值，即輸入估計值為xi，則有y=f(x1，x2，…，xN)(5.5-4) 
在此，輸入值是經(jīng)過對模型中所有主要系統(tǒng)效應(yīng)的影響修正的最佳估計值。否則，須將必要的修正值作為獨(dú)立的輸入量引入測量模型中。 
對于一隨機(jī)變量，可以使用其分布方差或方差的正平方根，即標(biāo)準(zhǔn)差，來量度其值的分散性。與輸出估計值或測量結(jié)果y相關(guān)的測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)，是被測量Y的標(biāo)準(zhǔn)差，它是通過與輸入估計值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差，即標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)來確定的。與估計值相聯(lián)系的標(biāo)準(zhǔn)不確定度具有與估計值相同的量綱。在有些情況下，使用相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即估計值的測量不確定度除以估計值的模，可能更為適當(dāng)，它的量綱為1。當(dāng)估計值等于0時，相對不確定度的概念不適用。 
2.輸入估計值測量不確定度的評定 
(1)概述 
與輸入估計值相關(guān)的測量不確定度，采用"A類"或采用"B類"方法評定。標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定，是通過對觀測列的統(tǒng)計分析來評定不確定度的方法。此時，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為通過求平均程序或適當(dāng)?shù)幕貧w分析求得的平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定，是用不同于對觀測列統(tǒng)計分析的方法來評定不確定度的方法。此時，標(biāo)準(zhǔn)不確定度是根據(jù)其他知識或信息得出的。 
(2)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定 
當(dāng)在相同的測量條件下，對某一輸入量進(jìn)行若干次獨(dú)立的觀測時，可采用標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評定方法。 
假定重復(fù)測量的輸入量Xi為量Q。若在相同的測量條件下進(jìn)行n(n>1)次獨(dú)立的觀測，量Q的估計值為各個獨(dú)立觀測值qj(j=1，2，…，)的算術(shù)平均值與輸入估計值 相關(guān)的測量不確定度可按以下方法之一評定:(a)值qj的實驗方差s2(q)是概率分布方差的估計值，可按下式計算　其(正)平方根稱為實驗標(biāo)準(zhǔn)差。算術(shù)平均值 方差的最佳估計值，是由下式給出的平均值的實驗方差:s2（ )=s2(q)/n(5.5-7) 
其(正)平方根稱為平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差。與輸入估計值 相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度即平均值的實驗標(biāo)準(zhǔn)差:u )=s( )(5.5.8) 
值得注意的是，一般而言，當(dāng)重復(fù)測量次數(shù)n較小(n<10)時，按式(5.5-8)表述的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定的可靠性就有所降低。此時，若無法增加觀測次數(shù)，可以考慮采用其他方法來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 
〔例5.5-1]對一等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計的有效面積進(jìn)行測量。在各種壓力下，測得10次活塞有效面積S0與工作基準(zhǔn)活塞面積S5之比li如下: 
0.250670 0.250673 
0.250670 0.250671 
0.250675 0.250671 
0.250675 0.250670 
0.250673 0.250670 
則由式(5.5-7)求得L的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(L)為: 
u(L)=s(L)=s(li)/ =0.63×10-6 
(b)對于特性比較明確且處于統(tǒng)計控制之下的測量過程來說，使用所獲得的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差sp來描述分散性，可能比采用通過有限次數(shù)的觀測值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差更為合適。sp為測量過程長期的組內(nèi)方差平均值的平方根。在此情況下，若輸入量Q的值由非常有限的n次獨(dú)立觀測值的平均值 求得，則平均值的方差可按下式估計: 
s2( )=sp2/n(5.5-9) 
根據(jù)該值，按式(5.5-8)即可求出標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 
〔例5.5-2]在實行量塊的測量保證方案時，為使實驗處于控制狀態(tài)，要以核查標(biāo)準(zhǔn)量塊來建立單個量塊的標(biāo)準(zhǔn)差。若第1次核查時的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s1=0.015μm，第2次核查時的樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s2=0.013μm，……多次核查的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差sp為0.014μm(條件為諸樣本標(biāo)準(zhǔn)差無顯著差異)。 
若以sp核查標(biāo)準(zhǔn)量塊的合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差，用以考察任一次測量(設(shè)測量次數(shù)為n=6)，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)為: 
u(x)=sp/ =0.014/ =0006(μm) 
(3)標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評定B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定是用不同于對觀測列統(tǒng)計分析的方法，來評定與輸入量Xi的估計值xi相關(guān)的不確定度。即根據(jù)所有可獲得的關(guān)于Xi可能變異性的信息，做出科學(xué)的、經(jīng)驗的判斷，來評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)。用于不確定度B類評定的信息來源一般包括: 
①以前的觀測數(shù)據(jù)； 
②對有關(guān)材料和儀器特性的了解和經(jīng)驗； 
③生產(chǎn)部門提供的技術(shù)說明文件； 
④校準(zhǔn)證書、檢定證書或其他文件提供的數(shù)據(jù)； 
⑤手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度； 
⑥規(guī)定實驗方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性限。 
運(yùn)用所掌握的信息進(jìn)行測量不確定度的B類評定，要求有一定的知識、經(jīng)驗和技巧。適當(dāng)評出的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度，可與A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度一樣可靠。
B類不確定度評定的最常用方法有以下四種: 
(a)已知擴(kuò)展不確定度和包含因子 
如輸入估計值xi來源于制造部門的說明書、校準(zhǔn)證書、手冊或其他資料，其中同時還明確給出其擴(kuò)展不確定度U(xi)及包含因子k的大小，則與輸入估計值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)為: 
u(xi)=U(xi)/k(5.5-10) 
〔例5.5-3]校準(zhǔn)證書上指出，標(biāo)稱值為1kg的砝碼的實際質(zhì)量m=100000032g，并說明按包含因子k=3給出的擴(kuò)展不確定度U=024mg。則由該砝碼導(dǎo)致的測量標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u(m)為: 
u(m)=0.24mg/3=80μg 
相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度為: 
urel(m)=u(m)/m=80×10-9 
(b)已知擴(kuò)展不確定度和置信水平的正態(tài)分布 
如果給出xi在一定置信水平p下的置信區(qū)間的半寬，即擴(kuò)展不確定度Up，除非另有說明，一般按正態(tài)分布來評定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)，即: 
u(xi)=Up/kp(5.5-11)其中，kp--置信水平p下的包含因子。 
正態(tài)分布的置信水平p(置信概率)與包含因子kp之間存在著下表所示的關(guān)系。 
〔例5.5-4]校準(zhǔn)證書上給出標(biāo)稱值為10Ω的標(biāo)準(zhǔn)電阻器的電阻Rs在23℃時為: 
R.(23℃)=(10.00074±000013)Ω同時說明置信水平p=99%。 
由于U99=0.13mΩ，按表5-5-1，kp=2.58，故其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(Rs)=0.13mΩ/2.58=50μΩ。 
(c)其他幾種常見的分布 
除了正態(tài)分布外，其他常見的分布有t分布、均勻分布、反正弦分布、三角分布、梯形分布、兩點(diǎn)分布等。 
若只知道輸入量的估計值xi分散區(qū)間的上限和下限分別為a+和a-(例如測量儀器的出廠指標(biāo)、溫度范圍、由自動數(shù)據(jù)簡化引起的舍入或截斷誤差)，則只能保守一些假定輸入量Xi在上、下限之間的概率分布為均勻(矩形)分布。按照上述情況(b)的做法，輸入估計值xi及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)分別為: 
xi=(a++a-)/2(5.5-12) 
u2(xi)=(a+-a-)2/12(5.5-13)如果上、下限之差用2a表示，即a+-a-=2a，則: 
u2(xi)=a2/3(5.5-14) 
或: u(xi)=a/ (5.5-15) 
[例5.5-5]手冊中給出純銅在20℃時的線膨脹系數(shù)α20(Cu)為16.52×10-6℃-1，并說明此值的變化范圍不超過±0.40×10-6℃-1。保守一些假定α20(Cu)在此區(qū)間內(nèi)為均勻分布，則線膨脹系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(α)為: 
u(α)=0.40×10-6℃-1/1.73=0.23×10-6℃-1。 
(d)由重復(fù)性限或再現(xiàn)性限求不確定度 
在規(guī)定實驗方法的國家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中，按規(guī)定的測量條件，當(dāng)明確指出輸入量的兩次測得值之差的重復(fù)性限，或再現(xiàn)性限R時，如無特殊說明，則輸入估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為: 
u(xi)=r/2.83(5.5-16) 
或u(xi)=R/2.83(5.5-17) 
這里，重復(fù)性限，或再現(xiàn)性限R的置信水準(zhǔn)為95%，并作為正態(tài)分布處理。 
3.輸出估計值標(biāo)準(zhǔn)不確定度的計算 
(1)當(dāng)全部輸入量彼此獨(dú)立或不相關(guān)時，與輸出估計值y相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 
靈敏系數(shù)ci表示輸出估計值y隨輸入估計值xi的變化而變化的程度。它可以從模型函數(shù)f按式(5.5-19)評定，或采用數(shù)值方法計算，即分別計算因輸入估計值xi的+u(xi)和-u(xi)的變化而引起的輸出估計值y的變化，所得的y值之差除以2u(xi)即為ci的值。有時，可以通過實驗，例如分別在xi±u(xi)重復(fù)測量，找出輸出估計值y的變化以求出ci的值。 
(2)當(dāng)兩個輸入量Xi和Xk之間有一定程度的相關(guān)性時，即它們之間不是相互獨(dú)立的，那么，其協(xié)方差也應(yīng)作為不確定度的一個分量來考慮。在以下情況下，與兩個輸入量Xi和Xk的估計值相關(guān)的協(xié)方差可以認(rèn)為是零或影響非常小: 
(a)輸入量Xi和Xk相互獨(dú)立，例如，它們是在不同的獨(dú)立實驗中重復(fù)而且非同時測得的，或它們分別代表獨(dú)立進(jìn)行的不同評定所得出的量； 
(b)輸入量Xi和Xk中的一個可作為常量看待； 
(c)研究表明，輸入量Xi和Xk之間沒有相關(guān)性的跡象。 
有時，可以通過改變測量程序來避免發(fā)生相關(guān)性，或者使協(xié)方差減小到可以忽略不計的程度。例如:通過改變所使用的同一臺標(biāo)準(zhǔn)器等。 
4.擴(kuò)展不確定度的評定 
擴(kuò)展不確定度是確定測量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。實際上，擴(kuò)展不確定度是將輸出估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)擴(kuò)展了k倍后得到的，這里的k稱為包含因子。即: 
U=ku(y)(5.5-27) 
k值一般為2，有時為3，這取決于被測量的重要性、效益和風(fēng)險。當(dāng)可以賦予被測量正態(tài)分布，且與輸出估計值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性足夠高時，包含因子k=2，這代表擴(kuò)展不確定度的包含概率約為95%。 
擴(kuò)展不確定度是測量結(jié)果取值區(qū)間的半寬，該區(qū)間可期望包含了被測量之值分布的大部分。而測量結(jié)果的取值區(qū)間在被測量值概率分布中所包含的百分?jǐn)?shù)，稱為該區(qū)間的置信水平或置信概率，用符號p表示。與置信水平相聯(lián)系的擴(kuò)展不確定度，用符號Up表示。例如:若合理地賦予被測量之值的分散區(qū)間包含全部的測得值，則此區(qū)間的置信概率為p=100%，擴(kuò)展不確定度用U100表示，它就是置信區(qū)間的半寬，通常用符號a表示。若只包含95%的被測量之值，則此區(qū)間稱為置信概率為p=95%的置信區(qū)間，其半寬就是擴(kuò)展不確定度U95；類似地，若要求99%的概率，則半寬為U99。顯然，U95<U99<a。 
5.測量不確定度的報告 
一個完整的測量結(jié)果應(yīng)包含兩部分: 
(1)被測量Y的最佳估計值，即輸出估計值y，一般由測量列的算術(shù)平均值給出； 
(2)描述該測量結(jié)果分散性的測量不確定度，它實際上是測量過程中來自測量設(shè)備、環(huán)境、人員、測量方法及被測對象的所有不確定度因素的集合。 
報告測量不確定度有兩種方式:一種是直接使用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，另一種是使用擴(kuò)展不確定度。在進(jìn)行基礎(chǔ)計量學(xué)研究和基本物理常量的測量時，通常使用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。除此之外，一般采用擴(kuò)展不確定度來報告測量不確定度。 
設(shè)被測量是標(biāo)稱值為100g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼質(zhì)量ms下面舉例說明其測量結(jié)果的表達(dá)方法: 
(1)用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表達(dá) 
(a)ms=100.02147g，u(ms)=0.35mg。 
(b)ms=10002147(35)g，括號中的數(shù)是u(ms)的數(shù)值，與所說明結(jié)果的最后位數(shù)字相對應(yīng)。 
(c)ms=100.02147(0.00035)g，括號中的數(shù)是u(ms)的數(shù)值，用所說明結(jié)果的單位表示。 
(2)用擴(kuò)展不確定度表達(dá) 
(a)ms=100.0215g，U(ms)=0.7mg(k=2)。 
(b)ms=(1000215±00007)g，其中±后的數(shù)是擴(kuò)展不確定度U(ms)，k=2。 
需要指出的是:輸出估計值y及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)或擴(kuò)展不確定度U(y)的數(shù)值都不應(yīng)給出過多的有效位數(shù)。一般來說，最終報告時，擴(kuò)展不確定度U(y)至多為兩位有效數(shù)字，即可取1～2位有效數(shù)字。但在計算過程中，為了避免修約誤差，可能需要保留一些多余的位數(shù)。 按照1～2位有效位數(shù)，對測量不確定度的數(shù)值進(jìn)行修約時，一般要將最末位后面的數(shù)都進(jìn)位而不是舍去。例如:U(y)=10.4mm，應(yīng)進(jìn)位到11mm。一旦測量不確定度的有效位數(shù)確定了，則應(yīng)采用它的修約間隔來修約測量結(jié)果，以確定其有效位至哪一位。也就是說，當(dāng)采用同一測量單位來表述測得值及其不確定度時，它們的有效位數(shù)應(yīng)是對齊的。 
6.測量不確定度的分類和評定流程 
(四)測量不確定度應(yīng)用實例 
〔例5.5-6]高值電阻的測量 
1.測量任務(wù) 
在某電子設(shè)備的生產(chǎn)中，需要使用1MΩ的高值電阻，設(shè)計要求其最大允許誤差應(yīng)在±0.1%以內(nèi)。為此，對選用的高值電阻進(jìn)行測量，以確定其電阻值是否滿足預(yù)期的使用要求。 
2.測量方法 
用一臺數(shù)字多用表對被測電阻器的電阻進(jìn)行直接測量，測量系統(tǒng)按圖5.5-2連接。 
3.測量儀器 
使用5位半的數(shù)字多用表一臺，經(jīng)檢定合格并在有效期內(nèi)。 
最大允許誤差為:±(0.005%×讀數(shù)+3×最低位數(shù)值)；測量時所用檔的滿量程值為1999.9kΩ，最低位數(shù)值為0.01kΩ；當(dāng)環(huán)境溫度為(5～25)℃時，溫度系數(shù)的影響可忽略。 
4.實測記錄 
在室溫(23±1)℃下，用該數(shù)字多用表重復(fù)測得的顯示值Ri列于表5.5-2。 
5.測量不確定度評定 
(1)測量模型電阻器的電阻值就等于數(shù)字多用表的電阻顯示值R。 
(2)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量 
①A類評定 
②B類評定 
根據(jù)數(shù)字多用表的技術(shù)指標(biāo)，確定其最大允許誤差的區(qū)間的半寬a為: 
a=0.005%R+3×0.01kΩ 
設(shè)測量值在該區(qū)間內(nèi)為均勻分布(矩形分布)。由數(shù)字多用表不準(zhǔn)引*的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u2(R)為: 
u2(R)=a/ =(0.005%×999.408KΩ+3×0.01kΩ)/1.73=0046kΩ 
(3)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度由于上述2項標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量之間不相關(guān)，所以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(R)為: 
(4)擴(kuò)展不確定度取包含因子k=2，故擴(kuò)展不確定度U為: 
U=ku。(R)=2×0.094kΩ=0.188kΩ≈0.2kΩ 
6.測量結(jié)果報告 
電阻器的電阻值為R=(999.4±0.2)kΩ，擴(kuò)展不確定度為U=0.2kΩ，包含因子k=2�？梢姡�符合電阻器的設(shè)計要求(1000±1)kΩ，故該電阻器可用于某電子設(shè)備的生產(chǎn)中。