(三) 求點(diǎn)估計(jì)的方法-一矩法估計(jì)

參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱(chēng)為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法可用如下兩句話概括：

　　(1)用樣本矩去估計(jì)相應(yīng)的總體矩。

　　(2)用樣本矩的函數(shù)去估計(jì)相應(yīng)總體矩的函數(shù)。

　　此種獲得未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的方法稱(chēng)為矩法估計(jì)。

　　矩法估計(jì)簡(jiǎn)單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。例如對(duì)任何總體，樣本均值 對(duì)總體均值 的估計(jì)總是無(wú)偏的，樣本方差 對(duì)總體方差 的估計(jì)也總是無(wú)偏的。但是應(yīng)該注意到矩法估計(jì)不一定總是最有效的，而且有時(shí)估計(jì)也不惟一。

　　[例l.4-1] 從某廠生產(chǎn)的一批鉚釘中隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得其頭部直徑分別為：

　　13.30，13.38，13.40，13.43，13.32，13.48，13.34，13.47，13.44，13.50

　　試求鉚釘頭部直徑總體的均值 與標(biāo)準(zhǔn)差 的估計(jì)。

　　解：用矩法估計(jì)可得：

　　=0.0048771

　　注意：用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，估計(jì)是有偏的。

　　(四)對(duì)幾種分布參數(shù)的矩法估計(jì)的例子

　　[例1.4-2] 設(shè)樣本 來(lái)自參數(shù)為 的指數(shù)分布，求 的矩法估計(jì)。

　　解：指數(shù)分布中，E(X)=1/ ，所以 =1/E(X)，用樣本均值 代E(X)，則得A的矩法估計(jì)為 。

　　[例1.4-3] 設(shè)樣本 來(lái)自參數(shù)為 的泊松分布，由于E(X)= ，

　　Var(X)= ，因此 與 都可以作為 的矩法估計(jì)，因此 的估計(jì)不惟一。遇到這種情況時(shí)，常選用低階矩作為參數(shù)的矩法估計(jì)。均值是一階矩，方差是二階矩，故在泊松分布場(chǎng)合，選用樣本均值 作為 的估計(jì)。即 。

　　[例1.4-4] 設(shè)樣本 來(lái)自兩點(diǎn)分布 ，即n=1的二項(xiàng)分布。兩點(diǎn)分布只能取0或1兩個(gè)值，其中“0”表示失敗，“1”表示成功，從而樣本均值為：

　　另一方面，兩點(diǎn)分布 的總體均值 是成功概率。按矩法估計(jì)的思想，可得p的矩法估計(jì)： ，即用成功的頻率去估計(jì)概率。

　　[例1.4-5] 設(shè)樣本 來(lái)自均勻分布 。其均值為 ，方差為 ，由矩法估計(jì)的思想可列出如下兩個(gè)方程：

　　解之可得 與 的矩法估計(jì)：

　　例如，從均勻分布 隨機(jī)抽取一個(gè)樣本量為5的樣本：4.7,4.0,4.5,4.2,5.0。計(jì)算得 ，從而可得 與 的矩法估計(jì)為：

　　(五)正態(tài)總體參數(shù)的估計(jì)

　　設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，參數(shù) ， 和 常用的無(wú)偏估計(jì)分述如下。

　　正態(tài)均值 的無(wú)偏估計(jì)有兩個(gè)，一個(gè)是樣本均值 ，另一個(gè)是樣本中位數(shù) ，即：

　　其中 為有序樣本，當(dāng)樣本量n為l或2時(shí)，這兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)相同。當(dāng)n≥3時(shí)，它們一般不同，但總有：

　　Var( ) ≤ Var( )

　　這意味著，對(duì)正態(tài)均值 來(lái)說(shuō)，樣本均值 總比樣本中位數(shù) 更有效。因此在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)優(yōu)先選用樣本均值 去估計(jì)正態(tài)均值 。有時(shí)在統(tǒng)計(jì)工作現(xiàn)場(chǎng)，為了簡(jiǎn)便和快捷，選用樣本中位數(shù) 去估計(jì)正態(tài)均值 也是有的，如統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(見(jiàn)第四章)中的中位數(shù)圖就是如此。

　　(2)正態(tài)方差 的無(wú)偏估計(jì)常用的只有一個(gè)，就是樣本方差 ，即：

　　理論研究表明，在所有無(wú)偏估計(jì)中它是最有效的。