一、考試要求

　1. 掌握概率的基本性質(zhì)

　　2. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法則

　　3. 掌握事件的獨立性、條件概率和概率的乘法法則

　　二、主要考點

　　1. 條件概率運算

　　2. 獨立性判斷、互不相容的判斷

　　三、內(nèi)容講解

　　第一節(jié)的問題：三、率的性質(zhì)及其運算法則

　　(一) 概率的基本性質(zhì)及加法法則

　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):

　　性質(zhì)l：率是非負(fù)的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件A,有:

　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即：

　　性質(zhì)2：若 是A的對立事件，則：

　　或

　　性質(zhì)3：若 則：

　　性質(zhì)4：事件A與B的并的概率為:

　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。特別若A與B互不相容，即：

　　若 ，則：

　　性質(zhì)5：對于多個互不相容事件 ，有:

　　[例1.1-7] 拋三枚硬幣，至少一個正面出現(xiàn) (記為事件 )的概率是多少?

　　解：在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗中，樣本空間共有8個樣本點：(正、正、正)、(反、反、反)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。 中所含的樣本點較多，但其對立事件 ="拋三枚硬幣，全是反面"={(反，反，反)}，只含一個樣本點，從等可能性可知 =1/8。再由性質(zhì)2，可得:

　　[例1.1-8] 設(shè)事件 的概率分別為 .在下列三種情況下分別求 的值：

　　(1) 與 互斥;

　　(2) 解：(1)因為 與 互斥，所以 ， =0

　　(2)因為 所以 = =

　　(二) 條件概率及概率的乘法法則

　　條件概率涉及兩個事件A與B，在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為條件概率, 記為 。條件概率的計算公式為:

　　(1.1-3)

　　圖1.1—11

　　為了幫助同學(xué)們理解，我們用圖1.1—11來說明1.1-3式中各符號的含義： 是事件B的面積除以樣本空間的面積， 是圖中的陰影部分的面積除以樣本空間的面積， 是陰影部分的面積除以事件B的面積。

　　注：① 時，條件概率無意義。(即條件不能是不可能事件)

　�、� 。(即 是特殊的條件概率)

　　1.1—3式表明:條件概率可用兩個特定的 (無條件) 概率之商來計算，在舉例說明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。

　　性質(zhì)6：對任意兩個事件A與B 有:

　　(1.1-4)

　　其中第一個等式要求P(B)>0，第二個等式要求P(A)>0。這一性質(zhì)可以從圖1.1—11中很容易看出。

　　[例1.1-9] 考慮有兩個孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一個男孩和一個女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一個男孩的概率。

　　解：若事件A表示：家中至少有一個男孩，則P(A)= ;

　　若事件B表示：家中至少有一個女孩，則P(B)= ;

　　家中有一個男孩和一個女孩的概率為：

　　在有女孩的家庭中，有一個男孩的概率為：