[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有N個，其中不合格品有M個，現(xiàn)從中隨機取出n個

　　從N個產(chǎn)品中隨機抽取n個共有 個不同的樣本點，它們組成這個問題的樣本空間 。

　　其中“隨機抽取”必導致這 個樣本點是等可能的。以后對“隨機抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計算事件A0、A1的概率，然后計算一般事件Am的概率。

　　事件A0="恰好有0個不合格品"="全是合格品"，要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中N-M個合格品中抽取，這有 種取法。故事件A0的概率為:

　　事件A1="恰好有1個不合格品"，要使取出的n個產(chǎn)品只有一個不合格品，其他n-1個是合格品，可分二步來實現(xiàn)。第一步從M個不合格品中隨機取出1個，共有 種取法;第二步從N-M個合格品中隨機取出n-1個，共有 種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含有 個樣本點。故事件A1的概率為：

　　最后，事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機抽取m個，而從N-M個合格品中隨機抽取n-m個，依據(jù)乘法原則，事件Am共含有 個樣本點，故事件Am的概率是:

　　其中r=min(n,M)為n, M中的較小的一個數(shù)，它是m的最大取值，這是因為m既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n, 也不可能超過不合格品總數(shù)M，因此 。

　　假如N=10.M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率:

　　而A3,A4等都是不可能事件，因為10個產(chǎn)品中只有2個不合格品，而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。

　　[例1.1-6]見書中第18頁[例1.1-5]。

　　(三) 概率的統(tǒng)計定義

　　概率的統(tǒng)計定義的要點如下：

　　(1)與事件A有關(guān)的隨機現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗的;

　　(2)若在n次重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生 次，則事件A發(fā)生的頻率為:

　　(1.1-2)

　　頻率 能反映事件A發(fā)生的可能性大小;

　　(3)頻率 將會隨著重復(fù)試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實際中人們無法把一個試驗無限次地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗次數(shù)n較大時的頻率去近似表示概率。

　　[例1.1-7 ] 說明頻率穩(wěn)定的例子

　　(1)為了驗證擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，許多人做了大量的重復(fù)試驗，圖1.1-10記錄了前400次擲硬幣試驗中頻率 的變化情況。在重復(fù)次數(shù)n較小時 波動劇烈，隨著n的增大， 波動的幅度在逐漸變小。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗。其結(jié)果(見表1.1-1)表明，正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5。這個0.5就是頻率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計算的概率是相同的。

　　(2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠高于另外一些字母。人們對各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計。發(fā)現(xiàn)各個字母的使用頻率相當穩(wěn)定，其使用頻率見表1.1-2。這項研究在計算機鍵盤設(shè)計 (在方便的地方安排使用頻率較高的字母鍵)、印刷鉛字的鑄造 (使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼 (使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是有用的。