[例1.1-5] 一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)

　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有 個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問題的樣本空間 。

　　其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這 個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可以作同樣理解。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。

　　事件A0="恰好有0個(gè)不合格品"="全是合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那么必須從該批中N-M個(gè)合格品中抽取，這有 種取法。故事件A0的概率為:

　　事件A1="恰好有1個(gè)不合格品"，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n-1個(gè)是合格品，可分二步來實(shí)現(xiàn)。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有 種取法;第二步從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)取出n-1個(gè)，共有 種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含有 個(gè)樣本點(diǎn)。故事件A1的概率為：

　　最后，事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從N-M個(gè)合格品中隨機(jī)抽取n-m個(gè)，依據(jù)乘法原則，事件Am共含有 個(gè)樣本點(diǎn)，故事件Am的概率是:

　　其中r=min(n,M)為n, M中的較小的一個(gè)數(shù)，它是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n, 也不可能超過不合格品總數(shù)M，因此 。

　　假如N=10.M=2和n=4，下面來計(jì)算諸事件Am的概率:

　　而A3,A4等都是不可能事件，因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。

　　[例1.1-6]見書中第18頁[例1.1-5]。

　　(三) 概率的統(tǒng)計(jì)定義

　　概率的統(tǒng)計(jì)定義的要點(diǎn)如下：

　　(1)與事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的;

　　(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生 次，則事件A發(fā)生的頻率為:

　　(1.1-2)

　　頻率 能反映事件A發(fā)生的可能性大小;

　　(3)頻率 將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實(shí)際中人們無法把一個(gè)試驗(yàn)無限次地重復(fù)下去，只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似表示概率。

　　[例1.1-7 ] 說明頻率穩(wěn)定的例子

　　(1)為了驗(yàn)證擲一枚均勻硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，圖1.1-10記錄了前400次擲硬幣試驗(yàn)中頻率 的變化情況。在重復(fù)次數(shù)n較小時(shí) 波動(dòng)劇烈，隨著n的增大， 波動(dòng)的幅度在逐漸變小。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗(yàn)。其結(jié)果(見表1.1-1)表明，正面出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在0.5。這個(gè)0.5就是頻率的穩(wěn)定值，也是正面出現(xiàn)的概率，這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。

　　(2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。人們對(duì)各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定，其使用頻率見表1.1-2。這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)鍵盤設(shè)計(jì) (在方便的地方安排使用頻率較高的字母鍵)、印刷鉛字的鑄造 (使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼 (使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是有用的。