三 統(tǒng)計量與抽樣分布

　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息，但是這些信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，我們?nèi)〉脴颖局�后，并不是直接利用樣本進行推斷，而需要對樣本進行一番“加工”和“提煉”，把樣本中所包含的有關(guān)信息盡可能地集中起來，種有效的辦法就是針對不同的問題，構(gòu)造出樣本的某種函數(shù)，這就是統(tǒng)計量。不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。

　　1統(tǒng)計量

　　把不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量。一個統(tǒng)計量也是一個隨機變量。

　　定義：設(shè)(X1，X2，…，Xn)為取自總體X的一個樣本，g(X1，X2，…，Xn)為一個連續(xù)函數(shù)，如果這個函數(shù)中不包含任何未知參數(shù)，則稱g(X1，X2，…，Xn)為一個統(tǒng)計量。

　　例如，設(shè)X～N(m ，s 2)，其中m 已知，s 2未知，(X1，X2，…，Xn)為取自X的樣本，則 是統(tǒng)計量， ­­­不是統(tǒng)計量。

　　統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，因而統(tǒng)計量是隨機變量。

　　由統(tǒng)計量進行推斷，便可獲得對總體的認(rèn)識，統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心內(nèi)容。

　　2抽樣分布

　　統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。

　　例5：從均值為 ，方差為 的總體中抽得一個樣本量為n的樣本 ，其中 與 均未知。

　　在此情形， 是統(tǒng)計量;而 ， 都

　　不是統(tǒng)計量，因為后者包含 ， 等未知參數(shù)。

　　3常用統(tǒng)計量

　　常用統(tǒng)計量可分為兩類，一類用來描述樣本的中心位置，另一類用來描述樣本的分散程度。為此先介紹有序樣本的概念，再引入幾個常用統(tǒng)計量。

　　有序樣本

　　設(shè) 是從總體X中隨機抽取的樣本，樣本量為n，將它們的觀測值從小到大排列為： ，這便是有序樣本。其中 是樣本中的最小觀測值， 是樣本中的最大觀測值。

　　例6 從某種合金強度總體中隨機抽取樣本量為5的樣本，記為 ，樣本觀測值為：140，150，155，130，145

　　解析：將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155，這便是有序樣本，其中最小的觀測值為 =30，最大的觀測值為 =155。

　　(1)描述樣本的中心位置的統(tǒng)計量

　　總體中每一個個體的取值盡管是有差異的，但是總有一個中心位置，如樣本均值、樣本中位數(shù)等。描述樣本中心位置的統(tǒng)計量反映了總體的中心位置，常用的有以下幾種：

　�、贅颖揪�值

　　樣本觀測值有大有小，樣本均值大致處于樣本的中間位置，它可以反映總體分布的均值。

　　例7 上例數(shù)據(jù)： ，樣本觀測值為：140，150，155，130，145。

　　樣本均值為 =(140+150+155+130+145)/5=144。

　　對分組數(shù)據(jù)，樣本均值的近似值為考試用書

　　其中 是分組數(shù)， 是第 組的組中值， 是第 組的頻數(shù)， 。

　　例8 下表是經(jīng)過整理的分組數(shù)據(jù)表，給出了110個電子元件的失效時間：

　　分組區(qū)間[0，400][400，800)[800，1200)[1200，1600)[1600， 2000)[2000，2400)

　　組中值xi2006001000140018002200

　　頻數(shù)ni628372397

　　解析：

　　平均失效時間近似為：

　　= 1170.9

　�、跇颖局形粩�(shù)

　　中位數(shù)有時也記為Me。

　　當(dāng)n為奇數(shù)

　　， 當(dāng)n為偶數(shù)

　　例9 現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)(已經(jīng)排序)：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，7，7，8

　　2，4，4，4，5，6，6，7，7，8，8，8，9，9

　　解析：

　　第一組共有13個數(shù)據(jù)，處于中間位置的是第7個數(shù)據(jù)，樣本中位數(shù)即為 。

　　第二組共有14個數(shù)據(jù)，處于中間位置的是第7，8個數(shù)據(jù)，樣本中位數(shù)即為 。

　　(3)描述樣本數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計量

　　總體中各個個體的取值總是有差別的，因此樣本的觀測值也是有差異的，這種差異有大有小，反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的統(tǒng)計量實際上反映了總體取值的分散程度，常用的有如下幾種：

　�、贅颖緲O差：

　　例10 數(shù)據(jù)為 ，樣本觀測值為：140，150，155，130，145，那么將它們從小到大排序后為：130，140，145，150，155

　　解析：最小值為130，最大值為155，因此樣本極差R=155-130=25

　�、跇颖痉讲睿�

　　同樣，對分組數(shù)據(jù)來講，樣本方差的近似值為：

　　其中 表示第i組的組中值。

　　例11 數(shù)據(jù)為 ，樣本觀測值為：140，150，155，130，145

　　解析：

　　上式有兩個簡化的計算公式：

　　樣本極差的計算十分簡便，但對樣本中的信息利用得也較少，而樣本方差就能充分利用樣本中的信息，因此在實際中樣本方差比樣本極差用得更廣。

　　③樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

　　在上例中 。

　　在例8中，

　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義：

　　樣本方差盡管對數(shù)據(jù)的利用是充分的，但是方差的量綱(即數(shù)據(jù)的單位)是原始量綱的平方，例如樣本觀測值是長度，單位是“毫米”，而方差的單位是“平方毫米”，單位不同就不便于比較，而采用樣本標(biāo)準(zhǔn)差就消除了單位的差異。