四、事件的概率

　隨機事件的發(fā)生由偶然性，但是隨機事件發(fā)生的可能性有大小之分，是可以度量的。實際上，通常人們關(guān)心事件發(fā)生的可能性大小。例如：

　　(1) 拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的可能性各為。

　　(2) 購買彩票的中獎機會有多少呢?等等

　　一個事件發(fā)生A發(fā)生的可能性大小通常用P(A)表示。概率是一個介于0和1之間的數(shù)。概率越大，事件發(fā)生的可能性越大;概率越小，事件發(fā)生的可能性越小。

　　下面介紹概率的統(tǒng)計定義。

　　1 概率的統(tǒng)計定義

　　若與事件A相關(guān)的隨機現(xiàn)象允許大量重復試驗，而且假設在n次重復實驗中，事件A發(fā)生 次，則事件A發(fā)生的頻率為，根據(jù)概率論中的定理，頻率 將會隨著試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實際中，無法把一個試驗無限地重復下去，只能用重復試驗次數(shù)n較大時的頻率去近似它。

　　2 概率的性質(zhì)

　　性質(zhì)1 (非負性) 性質(zhì)2 。

　　性質(zhì)3 。特別地，若事件A與事件B互不相容，則 。

　　性質(zhì)4 對任何事件A有 。

　　性質(zhì)5 。特別地，若 ，則 。

　　很顯然，由上面的不等式知，對任一事件A，有。

　　性質(zhì)6 若事件A與B相互獨立，即事件A的發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，則A與B的交事件的概率為

　　。

　　例2 已知 。求：

　　; ; 。

　　解 因為 ，且AB與 互不相容，有

　　五、隨機變量及其分布

　　1 隨機變量

　　表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機變量。常用大寫字母X, Y, Z等表示隨機變量，它們的取值用小寫字母 等表示。

　　常見的有兩種隨機變量。

　　離散型隨機變量：僅取數(shù)軸上的有限個點或可列個點。比如，一批產(chǎn)品中的次品數(shù)X是離散型隨機變量，它的可能取值是0，1，2，……

　　連續(xù)型隨機變量：可能取值充滿數(shù)軸上的一個區(qū)間。一臺電視機的壽命 (單位：小時)是連續(xù)型隨機變量，在 上取值�！� ”表示事件“壽命不超過10000小時�！�

　　2 隨機變量的分布

　　(1) 離散型隨機變量的分布

　　離散型隨機變量的分布可用分布烈表示。假設離散型隨機變量 可能取的值為 。取這些值的概率為， 。這些可以用一個表清楚地表示出來

　　… …

　　概率 … …

　　作為一個分布， 滿足一下條件： ， 。這樣的分布稱作離散分布， 稱作分布的概率函數(shù)。

　　例 3 設袋中裝有6個球，編號為{-1，2，2，2，3，3}，從袋中任取一球，求取到的球的號 的分布律。

　　解 因為 可取的值為-1，2，3，而且 ， ， ，所以 的概率分布為

　　-123

　　例 4 某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒，記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方多次抽查，根據(jù)近千次的抽查紀錄，從未發(fā)現(xiàn)一盒中有6支或6支以上的不合格三極管，用統(tǒng)計方法整理歷史數(shù)據(jù)可得如下分布：

　　0 1 2 3 4 5

　　0.284 0.2000 0.0900 0.080 0.004

　　從表中可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在0到2之間，它的概率為：

　　而超過3個不合格品的概率很�。�

　　3 連續(xù)型隨機變量的分布

　　連續(xù)型隨機變量 的分布用概率密度函數(shù) 表示。下面以產(chǎn)品的某個質(zhì)量特性值 來說明 的由來。

　　假如我們一個接一個地測量產(chǎn)品的質(zhì)量特性 ，把測量得來的x值一個接一個地描在數(shù)軸上，當累積到很多x時，就形成了一個圖形，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質(zhì)量特性x的增多，圖形就越穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條曲線，這條曲線就是概率密度曲線，相應的表達式稱為概率密度曲線。由于頻率穩(wěn)定于概率，因此可以用概率代替頻率，從而縱軸成為“單位長度上的概率”，這就是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸的上方，即 ，并且與x軸所夾面積恰為1。而X在區(qū)間 (a,b)上取值的概率為 區(qū)間上的面積。

　　4 隨機變量分布的均值、方差與標準差

　　隨機變量的分布有幾個重要的特征數(shù)，用來表示分布的中心位置和散布大小。

　　均值用來表示分布的中心位置，用 表示。

　　(1) 均值的計算方法：

　　(2) 方差的計算方法

　　方差表示分布的散布大小，用 表示。方差越大，分布越分散;方差越小，分布越集中。

　　(3) 標準差

　　方差的平方根即為標準差，記為 ，即 。