二項(xiàng)分布

1定義

若由n次隨機(jī)試驗(yàn)組成的隨機(jī)現(xiàn)象滿足如下條件：

(1) 重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)。

(2) n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即每一次試驗(yàn)結(jié)果不對(duì)其他次試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。

(3) 每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果，稱為“成功”與“失敗”。

(4) 每次試驗(yàn)成功的概率均為P，失敗的概率均為1—P。來(lái)自www.Examw.com

第二講 正態(tài)分布的概念與計(jì)算

重點(diǎn)：正態(tài)分布的概念

難點(diǎn)：正態(tài)分布的計(jì)算

正態(tài)分布是質(zhì)量管理中最為重要也最常使用的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

一 正態(tài)分布的概念

1定義

如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)有如下形式：

則稱X服從參數(shù)為μ，σ2的正態(tài)分布。

記作X～N(μ，σ2)。

當(dāng)時(shí)，正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 ，它的密度函數(shù)用 表示，分布函數(shù)用 表示。

2 正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像

我們把正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像叫做正態(tài)曲線。

由于密度函數(shù)總是大于0的，所以密度函數(shù)的函數(shù)圖像位于x軸的上方。而且由正態(tài)分布的表達(dá)式，可以發(fā)現(xiàn)，它的函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱，它的函數(shù)圖像是對(duì)稱的鐘形曲線。因?yàn)閜(x)的最大值為 ，所以正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ;

(注：根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)的定義，鐘形曲線下的面積為1。)考試用書

3參數(shù)的意義

正態(tài)分布 中，含有兩個(gè)參數(shù) 與 。其中 為正態(tài)分布的均值，它是正態(tài)分布的中心，表明質(zhì)量特性X在u附近取值的機(jī)會(huì)最大; 是正態(tài)分布的方差， 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。 愈大，分布愈分散，曲線低而平坦; 愈小，分布愈集中，曲線高而陡。

固定標(biāo)準(zhǔn)差 ，對(duì)不同的均值，如，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同。

固定均值 ，不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的位置相同，但形狀(高低與胖瘦)不同。

4正態(tài)分布的應(yīng)用

正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，在應(yīng)用及理論研究中占有頭等重要的地位，它與二項(xiàng)分布是概率論中最重要的兩種分布。正態(tài)分布的重要性是多方面的，主要有以下幾點(diǎn)：

1? 許多分布可用正態(tài)分布來(lái)近似。正態(tài)分布正是法國(guó)數(shù)學(xué)家德莫佛為了近似二項(xiàng)分布，于1733年首先引進(jìn)的，1812年拉普拉斯改進(jìn)了德莫佛的結(jié)果。后來(lái)，其他一些人推廣了這一結(jié)果，現(xiàn)已包含在概率論著名的中心極限定理中。根據(jù)這個(gè)定理，許多獨(dú)立、任意分布的隨機(jī)變量之和具有近似正態(tài)分布。因此，在實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似地服從正態(tài)分布。

2? 由正態(tài)分布可以導(dǎo)出其它許多重要分布。例如，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和應(yīng)用中占極重要地位的?2-分布、t-分布和F-分布，都是正態(tài)隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

3? 正態(tài)分布具有各種良好的性質(zhì)。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究和應(yīng)用中，每當(dāng)涉及正態(tài)分布時(shí)，一般都可以得到完滿而簡(jiǎn)單的結(jié)果。

二 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

1概率密度函數(shù)

當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作X～N(0，1)。

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量記為U，它的概率密度函數(shù)記為 。

若X～N(μ，σ2)，則 ～N(0，1)

實(shí)際中很少有一個(gè)質(zhì)量特性(隨機(jī)變量)的均值恰好為0，方差與標(biāo)準(zhǔn)差恰好為1。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得，這一點(diǎn)將在后面敘述。