全國(guó)2010年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣；r(A)表示矩陣A的秩；| A |表示A的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)3階方陣A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）為A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，則| A |=(      )

A.-12 B.-6

C.6 D.12

2.計(jì)算行列式=(      )

A.-180 B.-120

C.120 D.180

3.若A為3階方陣且| A-1 |=2，則| 2A |=(      )

A. B.2

C.4 D.8

4.設(shè)α1，α2，α3，α4都是3維向量，則必有(      )

A.α1，α2，α3，α4線性無關(guān) B.α1，α2，α3，α4線性相關(guān)

C.α1可由α2，α3，α4線性表示 D.α1不可由α2，α3，α4線性表示

5.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2，則r(A)=(      )

A.2 B.3

C.4 D.5

6.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A)=r(B)，則(      )

A.A與B相似 B.| A |=| B |

C.A與B等價(jià) D.A與B合同

7.設(shè)A為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則| A+2E |=(      )

A.0 B.2

C.3 D.24

8.若A、B相似，則下列說法錯(cuò)誤的是(      )

A.A與B等價(jià) B.A與B合同

C.| A |=| B | D.A與B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=(      )

A.-2 B.0

C.2 D.4

10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則(      )

A.A正定 B.A半正定

C.A負(fù)定 D.A半負(fù)定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.設(shè)A=,B=，則AB=_________________.

12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=______________.

13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.設(shè)α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_________________.

15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.

16.設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，，1，則| 5A-1 |=______________.

17.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.

18.實(shí)對(duì)稱矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=，α2=且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.

20.設(shè)α=，則A=ααT的非零特征值是_______________.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.計(jì)算5階行列式D=

22.設(shè)矩陣X滿足方程

  X=

求X.

23.求非齊次線性方程組

的通解.

24.求向量組α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.

25.已知A=的一個(gè)特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所對(duì)應(yīng)的特征值，并寫出對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的全部特征向量.

26.設(shè)A=，試確定a使r(A)=2.

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的線性無關(guān)解，證明α2-αl，α3-αl是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0的線性無關(guān)解.