Ø 第三章 同余

　　一、 主要內(nèi)容

　　同余的定義、性質(zhì)、剩余類和完全剩余系、歐拉函數(shù)、簡化剩余系、歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理、循環(huán)小數(shù)、特殊數(shù)2，3，4，5，6，7，8，9，11，13的整除規(guī)律

　　二、 基本要求

　　通過本章的學(xué)習(xí)，能夠掌握同余的定義和性質(zhì)，區(qū)別符號(hào)：“三”和=”之間的差異。能利用同余的一些基本性質(zhì)進(jìn)行一些計(jì)算，深刻理解完全剩余系，簡化剩余系的定義、性質(zhì)及構(gòu)造。能判斷一組數(shù)是否構(gòu)成模m的一個(gè)完全剩余系或一個(gè)簡化剩余系。能計(jì)算歐拉函數(shù)的值，掌握歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理的內(nèi)容以及證明方法。能應(yīng)用這二個(gè)定理證明有關(guān)的整除問題和求余數(shù)問題。能進(jìn)行循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化。

　　三、難點(diǎn)和重點(diǎn)

　　(1)同余的概念及基本性質(zhì)

　　(2)完全剩余系和簡化剩余系的構(gòu)造、判別

　　(3)歐拉函數(shù)計(jì)算、歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理的證明及應(yīng)用

　　(4)循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化

　　(5)特殊數(shù)的整除規(guī)律。

　　四、自學(xué)指導(dǎo)

　　同余理論是初等數(shù)論中最核心的內(nèi)容之一，由同余定義可知，若a≡b(mod m)，則a和b被m除后有相同的余數(shù)。這里m為正整數(shù)，一般要求m大于1，稱為模，同余這一思想本質(zhì)上是將整數(shù)按模m分類，然后討論每一個(gè)類中整數(shù)所具有的共性及不同類之間的差異。第一章中用帶余除法定理將整數(shù)分類解決一些問題的方法只不過是同余理論中的一個(gè)特殊例子。從同余的定理上看，同余和整除實(shí)際上是同一回事，故同余還有二個(gè)等價(jià)的定義：①用整除來定義即 m∣a-b 。②用等號(hào)來定義a=b+mt 。值得注意a和b關(guān)于m同余是個(gè)相對概念。即它是相對于模m來講，二個(gè)整數(shù)a和b關(guān)于一個(gè)整數(shù)模m同余。則對于另一個(gè)整數(shù)模m

　　，a和b未必會(huì)同余。

　　從定義上看，同余和整除是同一個(gè)事情，但引進(jìn)了新的符號(hào)“三”后，無論從問題的敘述上，還是解決問題的方法上都有了顯著的變化，同時(shí)也帶來了一些新的知識(shí)和方法。在引進(jìn)了同余的代數(shù)性質(zhì)和自身性質(zhì)后，同余符號(hào)“三”和等號(hào)“=”相比，在形式上有幾乎一致的性質(zhì)，這便于我們記憶。事實(shí)上在所有等號(hào)成立的運(yùn)算中，只有除法運(yùn)算是個(gè)例外，即除法的消去律不成立。為此對于同余的除法運(yùn)算我們有二種除法：

　　(i)模不改變的除法，若ak≡bk(mod m) ，(k,m)=1，則a≡b(mod m)

　　(ii)模改變的除法, 若ak≡bk(mod m) (k,m)=d,則a≡b

　　這一點(diǎn)讀者要特別注意。

　　完全剩余系和簡化剩余系是二個(gè)全新的概念，讀者只要搞清引成這些概念的過程。因?yàn)橥�余關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，利用等價(jià)關(guān)系可以進(jìn)行將全體整數(shù)進(jìn)行分類，弄清來朧去脈，對于更深刻理解其本質(zhì)是很有好處的。完全剩余系或簡化剩余系是一個(gè)以整數(shù)為元素的集合，在每個(gè)剩余類各取一個(gè)數(shù)組成的m個(gè)不同數(shù)的集合，故一組完全剩余系包含m個(gè)整數(shù)，由于二個(gè)不同的剩余類中的數(shù)關(guān)于m兩兩不同余，故可得判別一組數(shù)是否為模m的一個(gè)完全剩余系的條件有二條為

　　(1) 個(gè)數(shù)=m

　　(2) 關(guān)于m兩兩不同余

　　另外要能用已知完全剩余系構(gòu)造新的完全剩余系。即有定理

　　設(shè)(a，m)=1，x為m的完全剩余系，則ax+b也是m的完全剩余系。

　　當(dāng)

　　時(shí)，能由

　　的完全剩余系和

　　的完全剩余系，構(gòu)造

　　完全剩余系。為討論簡化剩余系，需要引進(jìn)歐拉函數(shù)φ(m)，歐拉函數(shù)φ(m)定義為不超過m且與m互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，記為φ(m)，要掌握φ(m)的計(jì)算公式，了解它的性質(zhì)。這些性質(zhì)最主要的是當(dāng)(a ,b)=1時(shí)，φ(ab) = φ(a) φ(b)，和

　　現(xiàn)在在剩余類中把與m互素的集合分出來，從中可在各個(gè)集合中任取一個(gè)數(shù)即可構(gòu)造模m的一個(gè)簡化剩余系。另一方面，簡化剩余數(shù)也可從模m的一個(gè)完全剩余系中得到簡化剩余系，一組完全剩余系中與m互素的的數(shù)組成的φ(m)個(gè)不同數(shù)的集合稱為m簡化剩余系。同樣簡化剩余系也有一個(gè)判別條件。

　　判別一組整數(shù)是否為模m的簡化剩余系的條件為

　　(1) 個(gè)數(shù)=φ(m)

　　(2) 關(guān)于m兩兩不同余

　　(3) 每個(gè)數(shù)與m互素

　　關(guān)于m的簡化剩余系也能用已知完全剩余系構(gòu)造新的簡化剩余系。

　　設(shè)(a，m)=1，x為m的簡化剩余系，則ax也是m的簡化剩余系。

　　當(dāng)

　　時(shí)，能由

　　的簡化剩余系和

　　的簡化剩余系，構(gòu)造

　　簡化剩余系。

　　歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理是同余理論非常重要的定理之一。要注意歐拉定理和費(fèi)爾馬定理的條件和結(jié)論。

　　歐拉定理：設(shè)m為大于1的整數(shù)，(a，m)=1，則有

　　費(fèi)爾馬小定理：若p是素?cái)?shù)，則有

　　除此以外，歐拉定理的證明的思想是非常好的，在各個(gè)地方都有應(yīng)用。就歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理來講，它在某些形如a

　　數(shù)的整除問題應(yīng)用起來顯得非常方便。同余方法也是解決整除問題的方法之一。

　　另外同余方法在證明不定方程時(shí)也非常有用，即要掌握同余“三”和相等“=”的關(guān)系：相等必同余，同余未必相等，不同余肯定不相等。

　　對于特殊數(shù)的整除規(guī)律要求能掌握其一般定理的證明，并熟記一些特殊數(shù)的整除規(guī)律

　　1、 一個(gè)整數(shù)被2整除的充要條件是它的末位為偶數(shù)。

　　2、 一個(gè)整數(shù)被3整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被3整除。

　　3、 一個(gè)整數(shù)被9整除的充要條件是它的各位數(shù)字之和能被9整除。

　　4、 一個(gè)整數(shù)被5整除的充要條件是它的末位為0或5。

　　5、 一個(gè)整數(shù)被4，25整除的充要條件是它的末二位能被4，25整除。

　　6、 一個(gè)整數(shù)被8，125整除的充要條件是它的末三位能被8，125整除。

　　7、 設(shè)

　　，則7或11或13整除a的充要條件是7或11或13整除

　　五、例子選講

　　例1：求3406的末二位數(shù)。

　　解：∵ (3，100)=1，∴3

　　≡1(mod 100)

　　(100)=

　　(22·52)=40, ∴ 340≡1(mol 100)

　　∴ 3406=(340)10·36≡(32)2·32≡-19×9≡-171≡29(mod 100)

　　∴ 末二位數(shù)為29。

　　例2：證明(a+b)p≡ap+bp(mod p)

　　證：由費(fèi)爾馬小定理知對一切整數(shù)有：ap≡a(p)，bp≡b(P)，

　　由同余性質(zhì)知有：ap+bp≡a+b(p)

　　又由費(fèi)爾馬小定理有(a+b)p≡a+b (p)

　　(a+b)p≡ap+bp(p)