Ø 第二章 不定方程

　　一、 主要內(nèi)容

　　一次不定方程有解的條件、解數(shù)、解法、通解表示，不定方程x2+y2=z2通解公式、無(wú)窮遞降法、費(fèi)爾馬大定理。

　　二、 基本要求

　　1、 了解不定方程的概念，理解對(duì)“解”的認(rèn)識(shí)，掌握一次不定方程

　　有解的條件，能熟練求解一次不定方程的特解，正整數(shù)解及通解。了解多元一次不定方程

　　有解的條件，在有解的條件下的解法。

　　2、掌握不定方程x2+y2=z2在一定條件下的通解公式，并運(yùn)用這個(gè)通解公式作簡(jiǎn)單的應(yīng)用。

　　3、對(duì)費(fèi)爾馬大定理應(yīng)有在常識(shí)性的了解，掌握無(wú)窮遞降法求證不定方程x4+y4=z2無(wú)解的方法。

　　4、掌握證明不定方程無(wú)解的若干方法。

　　三、難點(diǎn)和重點(diǎn)

　　(1)重點(diǎn)為求解一次不定方程的方法

　　(2)掌握第二節(jié)中引證的應(yīng)用。

　　(1) 費(fèi)爾馬無(wú)窮遞降法。

　　四、自學(xué)指導(dǎo)

　　不定方程主要講解以下幾個(gè)問(wèn)題

　　(i)給定一類(lèi)不定方程，判別在什么條件下有解。

　　(ii)在有解的條件下，有多少解

　　(iii)在有解的條件下，求出所給的不定方程的所有解。

　　二元一次不定方程的一般形式為ax+by=c 。若(a ,b)∣c，則該二元一次不定方程一定有解，若已知一個(gè)特解，則一切解可以用公式表示出來(lái)，因此求它的通解只要求出一個(gè)特解即可。求解二元一次不定方程的一個(gè)通解有好多種方法。讀者應(yīng)該總結(jié)一下，各種方法都有獨(dú)到之處。特別要指出用最大公因數(shù)的方法。它的根據(jù)是求(a ,b)時(shí)所得的結(jié)果。由于注意通解公式x=x0-b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意義和位置。以免出錯(cuò)。

　　多元一次不定方程

　　也有類(lèi)似的結(jié)果，但在求解的過(guò)程中將它轉(zhuǎn)化二元一次不定方程組，從最后一個(gè)二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,……xn 。所用的方法一般選擇最大公因數(shù)的方法。由于n元一次不定方程可轉(zhuǎn)化為n-1個(gè)二元一次不定方程組，故在通解中依賴(lài)于n-1個(gè)任意常數(shù)。但不象二元一次不定方程那樣有公式來(lái)表示。

　　x2+y2=z2的正整數(shù)解稱(chēng)為勾股數(shù)，在考慮這個(gè)方程時(shí)，我們對(duì)(x ,y)作了一些限制，而這些限制并不影響其一般性。在條件x>0，y>0，z>0，(x，y)=1，2∣x的條件可以給出x2+y2=z2的通解公式，x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若將2∣x限為2∣y，則也有相應(yīng)的一個(gè)通解公式。在證明這個(gè)通解公式的過(guò)程中，用到了引理 uv=w2，u>0，v>0，(u ,v)=1，則u=a2，v=b2，w=ab 。a>0，b>0，(a ,b)=1 。利用這個(gè)結(jié)論可以求解某些不定方程。特別當(dāng)w=1或素?cái)?shù)p 。則由uv=1或uv=P 可將原不定方程轉(zhuǎn)化為不定方程組。從而獲得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望讀者能掌握這種方法。

　　為了解決著名的費(fèi)爾馬大定理：xn+yn=zn ，n≥3無(wú)正整數(shù)解時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)可以用較初等的方法給出證明。證明由費(fèi)爾馬本人給出的，一般稱(chēng)為費(fèi)爾馬無(wú)窮遞降法。其基本思想為由一組解出發(fā)通過(guò)構(gòu)造得出另一組解，使得兩組解之間有某種特定的關(guān)系，而且這種構(gòu)造可以無(wú)限重復(fù)的。從而可得到矛盾。因此無(wú)窮遞降法常用來(lái)證明某些不定方程無(wú)整數(shù)解。

　　證明一類(lèi)不定方程無(wú)解是研究不定方程鄰域中常見(jiàn)的形式，一般的要求解不定方程比證明不定方程無(wú)解要容易些。證明不定方程無(wú)解的證明方法常采用以下形式：(反證法)

　　若A有解

　　A1有解

　　A2有解

　　……

　　An有解，而An本身無(wú)解，這樣來(lái)構(gòu)造矛盾。從而說(shuō)明原不定方程無(wú)解。

　　對(duì)于證明不定方程的無(wú)解性通常在幾種方法，一般是總的幾種方法交替使用。特別要求掌握：簡(jiǎn)單同余法、因子分解法、不等式法，以及中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的判別式法。

　　五、例子選講

　　例1：利用整數(shù)分離系數(shù)法求得不定方程15x+10y+6z=61。

　　解：注意到z的系數(shù)最小，把原方程化為

　　z=

　　令t1=

　　，即-3x+2y-6t1+1=0 此時(shí)y系數(shù)最小，

　　令t2 =

　　,即

　　,反推依次可解得

　　y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2

　　z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2

　　∴原不定方程解為

　　t1t2∈z. 例2:證明

　　是無(wú)理數(shù)證：假設(shè)

　　是有理數(shù)，則存在自數(shù)數(shù)a,b使得滿足

　　即

　　，容易知道a是偶數(shù)，設(shè)a=2a1，代入得

　　,又得到b為偶數(shù)，

　　，設(shè)

　　，則

　　,這里

　　這樣可以進(jìn)一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>…

　　但是自然數(shù)無(wú)窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾，∴

　　為無(wú)理數(shù)。

　　例3：證明：整數(shù)勾股形的勾股中至少一個(gè)是3的倍數(shù)。

　　證：設(shè)N=3m±1(m為整數(shù)) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1

　　即一個(gè)整數(shù)若不是3的倍數(shù)，則其平方為3k+1,或者說(shuō)3k+2不可能是平方數(shù)，設(shè)x,y為勾股整數(shù)，且x,y都不是3的倍數(shù)，則x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，這是不可能，∴勾股數(shù)中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)。