應(yīng)用題

1.某商店以每條100元的價(jià)格購進(jìn)一批牛仔褲，已知市場的需求函數(shù)為Q=400－2P，問怎樣選擇牛仔褲的售價(jià)P(元/條)，可使所獲利潤最大，最大利潤是多少。

2.設(shè)拋物線y²=2x與該曲線在處的法線所圍成的平面圖形為D，求D的面積。

五、證明題(4分)

證明：xln。

填空題(每小題2分，共20分)

1. e^－2

2. 1

3. f′(0)

4.

5.

6. arcsinlnx+C

7. 0

8.

9. 3

10. C₁+C₂e^－2x

   計(jì)算題(每小題5分，共30分)

1.解：原式=

=

2.解：y′=

=

=

=

3.解1:

令x=sint   t∈

則，原式==

=。

解2:

=

=。

4.解：齊次方程+2xy=0的解為y=。

由常數(shù)變異法，令y=代入方程，得：

，

因此，C(x)=  

所以,y=

代入初值條件：=2得C₀=

所以，y=

5.解：兩邊關(guān)于x求偏導(dǎo)

所以

兩邊關(guān)于y求偏導(dǎo)

所以。因此：

dz=。

6.解：e^x=

所以

所以。

令x=1，則：

    應(yīng)用題(每小題8分，共16分)

1.解：由題意，利潤函數(shù)為

L(p)=pQ－100Q=－2p²+600p－40000,

求導(dǎo)數(shù) =－4p+600,

令=0，解得p=150,

由于=－4<0,因此在p=150處L取得極大值。

代入利潤函數(shù)得，極大值為L(150)=5000。

由于最大利潤必存在且函數(shù)僅有一個(gè)極值，因此該極大值必為最大值。即選擇牛仔褲的售價(jià)為150(元/條)時(shí)利潤最大，利潤為5000元。

2.解：曲線在(，1)處的法線斜率為：

因此，法線方程為：y=－x+

解得法線與曲線另一個(gè)交點(diǎn)為(，－3)。

由于。

因此，D的面積為：

 。

 證明題(4分)

解：令  F(x)=xln(x+)－+1。    則  F′(x)=ln(x+)>0,(x>0)

所以，當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)是嚴(yán)格遞增函數(shù)

因此，當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)>F(0)=0

即  xln(x+)>,(x>0)。