自考《初中數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)》章節(jié)習(xí)題：第6章

　　第六章：

　　1.談一談你對(duì)數(shù)學(xué)抽象層次性的理解。

　　大體上分為三個(gè)層次：(1)把握事物的本質(zhì)，把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、條理化，能夠清晰地表達(dá)，我們稱(chēng)其為簡(jiǎn)約階段。(2)去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物，我們稱(chēng)其為符號(hào)階段。(3)通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱(chēng)其為普適階段。

　　2.如何理解圖形與圖形關(guān)系的抽象?

　　對(duì)數(shù)學(xué)圖形的認(rèn)識(shí)和理解，應(yīng)當(dāng)注意把各種數(shù)量關(guān)系、圖形的獲得或抽象過(guò)程告訴學(xué)生，而不是僅僅把結(jié)果告訴學(xué)生。就幾何圖形而言，正是現(xiàn)實(shí)生活中的直線、三角形、圓等幾何圖形才構(gòu)成了初等幾何的數(shù)學(xué)抽象模式。如果脫離現(xiàn)實(shí)中的幾何對(duì)象抽象成模型的過(guò)程，初等幾何就變成純粹的邏輯推理，從而失去了與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的渠道。

　　在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們運(yùn)用數(shù)學(xué)方法把具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這一過(guò)程中，我們要善于突出數(shù)學(xué)數(shù)量抽象模式與圖形抽象模式的交互作用，運(yùn)用直觀、形象的數(shù)學(xué)模型來(lái)輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的抽象能力。

　　在教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，要盡量利用具有直觀、形象作用的數(shù)學(xué)模型。尤其是幾何圖形的應(yīng)用，它可以幫助低年齡的學(xué)生很快地接受一些抽象性的數(shù)學(xué)概念。在中小學(xué)的不同年齡段，對(duì)不同數(shù)學(xué)模型的抽象能力有很大差異。如何運(yùn)用這種差異不斷有意識(shí)地強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型的抽象程度，這也是教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題。

　　3.簡(jiǎn)述中小學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型的抽象。

　　(一)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的抽象:在人類(lèi)的生產(chǎn)生活中，有許多實(shí)際問(wèn)題可以用初等數(shù)學(xué)來(lái)解決，對(duì)這些具體問(wèn)題的抽象處理就形成了許多有關(guān)這些方面的數(shù)學(xué)模型。這些問(wèn)題主要表現(xiàn)在工程進(jìn)度、人口增長(zhǎng)、收入變等方面。這些問(wèn)題運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具大多是代數(shù)方程、指數(shù)函數(shù)以及其它相關(guān)的函數(shù)概念。這一類(lèi)的數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見(jiàn)，中小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以這些為例深入淺出地抽象、構(gòu)造及運(yùn)用這些模型。

　　(二)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的抽象:一些事物在運(yùn)動(dòng)中表現(xiàn)出速度、加速度、時(shí)間、距離之間的關(guān)系，這類(lèi)問(wèn)題構(gòu)成了帶有運(yùn)動(dòng)特征的數(shù)學(xué)模型。這些問(wèn)題一般可以用抽象的代數(shù)方程、二次函數(shù)等方面的數(shù)學(xué)方法給予解決。在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，一些追擊問(wèn)題、行程問(wèn)題都是這方面的典型代表。在行程問(wèn)題的路程、時(shí)間、速度三個(gè)因素中，如果路程固定，則時(shí)間隨速度變化。同樣的，如果時(shí)間固定，則路程隨速度變化，如此等等。在這里，如果按照應(yīng)用題方式解題是一種傳統(tǒng)的教學(xué)形式。如果在學(xué)習(xí)了這種抽象成數(shù)學(xué)模型的解題方法之后，創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生自己把生活中的具體問(wèn)題構(gòu)成一個(gè)行程、工程等方面的比例問(wèn)題，那就會(huì)使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，也會(huì)使他們?cè)鲩L(zhǎng)信心，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)效果才是我們素質(zhì)教育中所要求的。

　　(三)邏輯程序數(shù)學(xué)模型的抽象: 從邏輯程序模型的意義上說(shuō)，我們的數(shù)學(xué)教育不僅僅是把推理過(guò)程表述出來(lái)，而是要把它抽象成一種可以獨(dú)立構(gòu)建的邏輯程序模型。此時(shí)我們的要求不是從幾何的角度，而是從邏輯程序的自身角度來(lái)看待問(wèn)題。這樣我們?cè)谔幚頂?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就不僅是從具體數(shù)學(xué)問(wèn)題層次，而是從數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的邏輯程度的層次來(lái)考慮數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，這也是中國(guó)古代數(shù)學(xué)最為值得驕傲的傳統(tǒng)。

　　對(duì)于中小學(xué)及初等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型抽象方法和問(wèn)題，我們還可找出一些，上面提到的常見(jiàn)問(wèn)題只是中小學(xué)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的比較多的類(lèi)型。我們?cè)趯?shí)際教學(xué)中可以根據(jù)數(shù)學(xué)模型抽象方法選擇一些具體的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的抽象教學(xué)研究。考慮到素質(zhì)教育的深入開(kāi)展，應(yīng)當(dāng)格外注意中小學(xué)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活相聯(lián)的數(shù)學(xué)模型抽象問(wèn)題的教學(xué)，把學(xué)生從公式、定理的邏輯推演引向注重利用抽象的數(shù)學(xué)去解決具體問(wèn)題。

　　4.結(jié)合初中教學(xué)實(shí)際談一談你對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解。

　　數(shù)學(xué)抽象的教學(xué)應(yīng)當(dāng)直接指向?qū)W生在與數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題上的一般思維水平方面的發(fā)展。事實(shí)上，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育是一種公民教育，它給學(xué)生帶去的絕不僅僅是會(huì)解更多的數(shù)學(xué)題了。這些學(xué)生的未來(lái)會(huì)遇到不同的挑戰(zhàn)——一些人需要學(xué)習(xí)或研究更多的數(shù)學(xué)，對(duì)他們而言，是否能夠“思考數(shù)學(xué)”非常重要;另一些人(他們是受教育的學(xué)生中的絕大多數(shù))就業(yè)以后基本上不需要解純粹的數(shù)學(xué)題(除了參加數(shù)學(xué)考試)，對(duì)他們而言，“思考數(shù)學(xué)”是一種需要，但更多的或許是能夠進(jìn)行“數(shù)學(xué)的思考”，即在面臨各種問(wèn)題情境(特別是非數(shù)學(xué)問(wèn)題)時(shí)，能夠從數(shù)學(xué)的角度去思考問(wèn)題、能夠發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)學(xué)現(xiàn)象、并將之抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)與方法去解決問(wèn)題。對(duì)所有的未來(lái)公民來(lái)說(shuō)，抽象思維和形象思維水平，歸納推理與演繹推理能力等都是不可缺少的。