自考《初中數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)》章節(jié)習(xí)題：第1章

　　第一章

　　1.結(jié)合數(shù)系擴(kuò)充的歷程，談?wù)勀銓?duì)數(shù)系擴(kuò)充的理解。

　　“數(shù)”的產(chǎn)生成為人類文明發(fā)展的一個(gè)重要的標(biāo)志。人類從識(shí)別事物多寡的

　　原始的數(shù)覺能力，到抽象的“數(shù)”概念的形成，經(jīng)歷了一個(gè)緩慢漸進(jìn)的過程。

　　第一次擴(kuò)充：分?jǐn)?shù)的引進(jìn);第二次擴(kuò)充：0的引進(jìn);第三次擴(kuò)充：負(fù)數(shù)的引進(jìn);第四次擴(kuò)充：無理數(shù)的引進(jìn);第五次擴(kuò)充：復(fù)數(shù)的引進(jìn)。

　　數(shù)的理論研究，首先要建立起自然系，然后在此基礎(chǔ)上逐步加以擴(kuò)充，從原有數(shù)集擴(kuò)充到新數(shù)集所遵循的原則：(一)原數(shù)集是擴(kuò)充后新數(shù)集的真子集;(二)原數(shù)集定義的元素間的關(guān)系和運(yùn)算在新數(shù)集中同樣地被定義;(三)原數(shù)集中的元素在新數(shù)集中定義的運(yùn)算結(jié)果與在原數(shù)集中的運(yùn)算結(jié)果一致，且基本運(yùn)算律保持;(四)在原數(shù)集中不能施行或不能完全施行的某種運(yùn)算，在新數(shù)集中能夠施行;(五)新數(shù)集是滿足上述四條的數(shù)集中的最小數(shù)集。

　　2.簡(jiǎn)述“數(shù)”發(fā)展到“式”的重要意義。

　　人類從“數(shù)”的具體運(yùn)算到利用“式”或者符號(hào)進(jìn)行抽象的運(yùn)算，卻經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月。而這一數(shù)值計(jì)算過程的符號(hào)化過程，不僅導(dǎo)致了運(yùn)算形式化、程序化及規(guī)則的公理化，也包含了計(jì)算對(duì)象擴(kuò)大化，即數(shù)系的擴(kuò)大化問題。將抽象的符號(hào)運(yùn)算應(yīng)用到更一般的對(duì)象上，也即實(shí)現(xiàn)了代數(shù)化將直接導(dǎo)向數(shù)學(xué)的機(jī)械化，開辟了構(gòu)造數(shù)學(xué)的新方向，為抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展埋下了伏筆，也成為近代數(shù)學(xué)的顯著特征。

　　而這一切都要?dú)w功于被譽(yù)為代數(shù)學(xué)之父的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)，在他之前，人們只解決帶有數(shù)字系數(shù)的方程，雖然知道可以用同樣的方法來求解，但卻認(rèn)為任意兩個(gè)不同數(shù)字系數(shù)的一元二次方程是不一樣的。而韋達(dá)用ax2+bx+c=0一般地表示一元二次方程，其中字母系數(shù)可以表示任何數(shù)，因?yàn)榘逊匠逃蓴?shù)字系數(shù)抽象到了字母系數(shù)，于是研究的是整個(gè)一類方程的計(jì)算，對(duì)于具體數(shù)字的計(jì)算只要帶入求根公式就可以了。由此可見，從數(shù)字抽象到符號(hào)體系，得到的結(jié)果往往就具有了一般性，因而也就具有了更加廣泛的應(yīng)用性。

　　由此可見，人類從事物抽象到數(shù)字固然實(shí)現(xiàn)了人類抽象思維的第一次飛躍，然而從數(shù)字到符號(hào)表達(dá)的第二次抽象對(duì)人類思維和發(fā)展的影響無疑更加巨大，更有劃時(shí)代的意義。

　　3.方程概念的核心思想是什么?

　　方程借助用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，將未知數(shù)同已知數(shù)一起描述問題的代數(shù)表達(dá)形式，形成了方程的基本思想。這種思想改變了算術(shù)中已知與未知相對(duì)立的問題。不僅是學(xué)生將來解決實(shí)際問題的重要方法，而且它是代數(shù)思想的重要應(yīng)用，有利于培養(yǎng)用字母表示數(shù)的方程與方程組的基本理論與方法，強(qiáng)化對(duì)方程思想的認(rèn)識(shí)。

　　方程思想具有很豐富的含義，其核心體現(xiàn)在：一是模型思想，二是化歸思想。因此，對(duì)于初中生來說，學(xué)習(xí)方程內(nèi)容最主要的事情集中在兩個(gè)方面。一方面是建模，另一方面是會(huì)解方程�！稊�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型”。這是因?yàn)椋�現(xiàn)實(shí)世界的許多數(shù)量關(guān)系，都可以歸結(jié)為一種特別的“式”的相等關(guān)系，成為一種抽象的模型。

　　4.簡(jiǎn)述不等式蘊(yùn)含的思想?

　　關(guān)于不等式的重要思想和方法主要包含如下幾種重要的思想:

　　(一)模型思想 ：通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，通過解不等式得到實(shí)際問題的答案，這就體現(xiàn)了不等式的模型思想。同時(shí)，這種模型經(jīng)常與函數(shù)、方程聯(lián)系在一起，三者都是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型，在解決實(shí)際問題時(shí)，要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型。

　　(二)辯證思想：值得一提的是，可別小看這種思想，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想可以輕松地化解相當(dāng)多的問題——教材中的“不等式”一章中的大部分問題幾乎都可以利用這種思想方法加以解決。

　　(三)數(shù)形結(jié)合思想：我們不僅要會(huì)解不等式并能運(yùn)用數(shù)軸表示不等式的解集，而且，解不等式組時(shí)往往需要借助數(shù)軸,這些都是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。

　　總之，在解決不等式的有關(guān)問題時(shí)，我們要注意數(shù)形結(jié)合，尤其是要聯(lián)系數(shù)軸或者函數(shù)、方程、等式等內(nèi)容，注意不等式與等式之間的轉(zhuǎn)換。同時(shí)，要深刻體會(huì)不等關(guān)系的廣泛存在性，注意使用恰當(dāng)?shù)牟坏仁絹砜坍嬤@種不等關(guān)系，這也就是“建立不等式的模型”。

　　5.函數(shù)概念的核心思想是什么?

　　函數(shù)概念已經(jīng)成為初中數(shù)學(xué)中最為重要概念之一。在初中數(shù)學(xué)課程改革和數(shù)學(xué)教學(xué)中，深刻理解函數(shù)的核心思想，把握函數(shù)定義的本質(zhì)，對(duì)處理好函數(shù)這部分內(nèi)容的教學(xué)至關(guān)重要。

　　通過對(duì)函數(shù)各種定義的梳理，我們可以看到函數(shù)概念的核心思想。在整個(gè)基礎(chǔ)教育階段，數(shù)學(xué)的核心是研究關(guān)系，具體來說，是研究三種關(guān)系，即數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系和隨機(jī)關(guān)系。函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系：一個(gè)變量的取值發(fā)生了變化，另一個(gè)變量的取值也發(fā)生變化，這就是函數(shù)表達(dá)的數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其中有三點(diǎn)是重要的，一是變量的取值是實(shí)數(shù);二是因變量的取值是唯一的;三是必須借助數(shù)字以外的符號(hào)表示函數(shù)。