2019年中考數(shù)學(xué)練習(xí)題：幾何綜合題

　　概述：

　　幾何綜合題一般以圓為基礎(chǔ)，涉及相似三角形等有關(guān)知識(shí);這類題雖較難，但有梯度，一般題目中由淺入深有1～3個(gè)問(wèn)題，解答這種題一般用分析綜合法.

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　　典型例題精析

　　例1.如圖，已知⊙O的兩條弦AC、BD相交于點(diǎn)Q，OA⊥BD.

　　(1)求證：AB2=AQ·AC：

　　(2)若過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，求證：PC=PQ.

　　分析：要證AB2=AQ·AC，一般都證明△ABQ∽△ACB.∵有一個(gè)公共角∠QAB=∠BAC，∴只需再證明一個(gè)角相等即可.

　　可選定兩個(gè)圓周角∠ABQ=∠ACB加以證明，以便轉(zhuǎn)化，題目中有垂直于弦的直徑，可知AB=AD，AD和AB所對(duì)的圓周角相等.

　　(2)欲證PC=PQ，

　　∵是具有公共端點(diǎn)的兩條線段，

　　∴可證∠PQC=∠PCQ(等角對(duì)等邊)

　　將兩角轉(zhuǎn)化，一般原地踏步是不可能證明出來(lái)的，沒(méi)有那么輕松愉快的題目給你做，因?yàn)閿?shù)學(xué)是思維的體操.

　　∠BQC=∠AQD=90°-∠1(充分利用直角三角形中互余關(guān)系)

　　∵∠PCA是弦切角，易發(fā)現(xiàn)應(yīng)延長(zhǎng)AO與⊙交于E，再連結(jié)EC，利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同時(shí)也得到直徑上的圓周角∠ACE=90°，

　　∴∠PCA=∠E=90°-∠1.

　　做幾何證明題大家要有信心，拓展思維，不斷轉(zhuǎn)化，尋根問(wèn)底，不斷探索，充分發(fā)揮題目中條件的總體作用，總能得到你想要的結(jié)論，同時(shí)也要做好一部分典型題，這樣有利于做題時(shí)發(fā)生遷移，聯(lián)想.

　　例2.如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)C，連心線O1O2所在的直線分別交⊙O1，⊙O2于A、E，過(guò)點(diǎn)A作⊙O2的切線AD交⊙O1于B，切點(diǎn)為D，過(guò)點(diǎn)E作⊙O2的切線與AD交于F，連結(jié)BC、CD、DE.

　　(1)如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值;

　　(2)在(1)的條件下，求sinA和tan∠DCE的值;

　　(3)當(dāng)AC：CE為何值時(shí)，△DEF為正三角形?

　　分析：(1)根據(jù)題的結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)上證明△ADC∽△AED，進(jìn)而可求AC，CE，設(shè)CD=2x，則AC=x，易證△ADC∽△AED，

　　中考樣題訓(xùn)練

　　1.如圖⊙O的直徑DF與弦AB交于點(diǎn)E，C為⊙O外一點(diǎn)，CB⊥AB，G是直線CD上一點(diǎn)，∠ADG=∠ABD，求證：AD·CE=DE·DF.

　　說(shuō)明：(1)如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索，沒(méi)有找到解決問(wèn)題的方法，請(qǐng)你把探索過(guò)程中的某種思路推導(dǎo)過(guò)程寫出來(lái)(要求至少寫3步).(2)在你經(jīng)過(guò)說(shuō)明(1)的過(guò)程之后，可以從下列①、②、③中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明.

　�、佟螩DB=∠CEB;②AD∥EC;③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°.

　　2.已知，如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，且EM>MC，連結(jié)DE，DE=.

　　(1)求EM的長(zhǎng);(2)求sin∠EOB的值.

　　3.如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB.

　　(1)求證：DE是⊙O切線;

　　(2)若AB=6，AE=，求BD和BC的長(zhǎng).

　　4.如圖：⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，O1O2的延長(zhǎng)線交⊙O2于點(diǎn)A，AB切⊙O1于點(diǎn)B，交⊙O2于點(diǎn)C，BE是⊙O1的直徑，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥O1P，垂足為F，延長(zhǎng)BF交PE于點(diǎn)G. (1)求證：PB2=PG·PE;(2)若PF=，tan∠A=，求：O1O2的長(zhǎng).

　　考前熱身訓(xùn)練

　　1.如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，割線PA、PB分別與⊙O相交于A、C、B、D四點(diǎn)，PT切⊙O于點(diǎn)T，點(diǎn)E、F分別在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP.

　　(1)求證：PD·PF=PC·PE;

　　(2)若PD=4，PC=5，AF=，求PT的長(zhǎng).

　　2.如圖，BC是半圓O的直徑，EC是切線，C是切點(diǎn)，割線EDB交半圓O于D，A是半圓O上一點(diǎn)，AD=DC，EC=3，BD=2.5

　　(1)求tan∠DCE的值;(2)求AB的長(zhǎng).

　　3.如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE的延長(zhǎng)線交⊙A于F，CM=2，AB=4.

　　(1)求⊙A的半徑;(2)求CE的長(zhǎng)和△AFC的面積.

　　4.如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，延長(zhǎng)BA到E，使AE=AB，連結(jié)ED.

　　(1)求證：直線ED是⊙O的切線;

　　(2)連結(jié)EO交AD于點(diǎn)F，求證：EF=2FO.