2019年中考數(shù)學(xué)練習(xí)題：方程觀點(diǎn)解幾何計(jì)算題

　　概述：

　　含有未知數(shù)的等式便是方程，代數(shù)方面的應(yīng)用題，幾何方面的計(jì)算題便是求某些未知數(shù)的值，都可用方程的觀點(diǎn)去解決，一般一個(gè)未知數(shù)列一個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)列兩個(gè)方程.

　　典型例題精析

　　例1.有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線(xiàn)AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD長(zhǎng).

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　　分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10.由題意知

　　△ ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，

　　設(shè)CD=x，則DE=x，而EB=4，

　　一個(gè)未知數(shù)，需要一個(gè)方程，從何而來(lái)，圖中有直角，用勾股定理，有等式，有方程.

　　∴在Rt△DEB中，(8-x)2=x2+42，

　　64-16x+x2=x2+16，

　　16x=48， x=3(cm).

　　例2.已知⊙O中，兩弦AB、CD相交于E，若E為AB中點(diǎn)，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD長(zhǎng).

　　解：∵CE：ED=1：4，

　　∴設(shè)CE=x，則ED=4x，由相交弦定理得

　　CE·ED=AE·EB，

　　即x·4x=2×2，

　　4x2=4， x=1.

　　∴CD=x+4x=5x=5.

　　例3.如圖，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，PM切⊙O于M點(diǎn)，若OA=a，PM=a，求△PMB的周長(zhǎng).

　　分析：條件符合切割線(xiàn)定理，設(shè)BP=x，則由PM2=PB·PA(方程出來(lái)了)

　　得(a)2=x(x+2a)，

　　x2+2ax-3a2=0，

　　(x+3a)(x-a)=0，

　　∴x1=a，x2=-3a(舍去)

　　∴x=a，即BP=a，連結(jié)MO(常作輔助線(xiàn))

　　則∠OMP=90°，∵OB=BP=a，則MB為Rt△OMP的斜邊上的中線(xiàn)，∴MB=OP=a.

　　∴△MBP的周長(zhǎng)為2a+a.

　　例4.如圖，圓心在Rt△ABC斜邊AB上的半圓切直角邊AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圓的半徑.

　　分析：設(shè)半徑為R，(一個(gè)未知數(shù)建立一個(gè)方程即可)，連OM、ON、OC，

　　則OM=ON=R，用面積，S△AOC+S△BOC=S△ABC，

　　得6R+8R=6×8(一元一次方程)

　　中考樣題訓(xùn)練:

　　1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D為BC邊上的一點(diǎn)，tan∠ADC是方程3(x2+)-5(x+)=2的一個(gè)根，求CD的長(zhǎng).

　　2.如圖，已知直線(xiàn)BC切⊙O于C，PD為⊙O的直徑，BP的延長(zhǎng)線(xiàn)與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度數(shù).

　　3.已知，如圖，C為半圓上一點(diǎn)，，過(guò)C作直徑的垂線(xiàn)CP，P為垂足，弦AE分別交PC，CB于點(diǎn)D，F(xiàn).

　　(1)求證：AD=CD;

　　(2)若DF=，tan∠ECB=，求PB的長(zhǎng).

　　4.已知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+k2+1=0的兩根是一個(gè)矩形兩鄰邊的長(zhǎng).

　　(1)k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

　　(2)當(dāng)矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為時(shí)，求k的值.

　　5.如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，⊙O的割線(xiàn)PDE垂直AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，連結(jié)PC，∠BAC=∠BCP，求解下列問(wèn)題：

　　(1)求證：CP是⊙O的切線(xiàn);

　　(2)當(dāng)∠ABC=30°，BG=2，CG=4時(shí)，求以PD、PE的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程.

　　(3)若(1)的條件不變，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)再具備什么條件可使結(jié)論BG2=BF·DO成立?試寫(xiě)出你的猜想，并說(shuō)明理由.

　　6.已知：如圖所示，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，弦BF和AD交于E，且AE=BE.

　　(1)試猜想：與有何大小關(guān)系?并證明你的猜想;

　　(2)若BD、CD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-kx+16=0的兩個(gè)根，求BF的長(zhǎng);

　　(3)在(2)的條件下，若k為整數(shù)，且滿(mǎn)足，求sin2∠A的值.

　　考前熱身訓(xùn)練

　　1.要用圓形鐵片截出邊長(zhǎng)為4cm的正方形鐵片，求選用的圓形鐵片的直徑的最小值.

　　2.圓內(nèi)兩條弦AB和CD相交于P點(diǎn)，AB長(zhǎng)為7，AB把CD分成兩部分的線(xiàn)段長(zhǎng)為2和6，求AP的長(zhǎng).

　　3.如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-(m-2)x+(m+2)=0的兩個(gè)根，且BC=4，求m的值及PA的長(zhǎng).

　　4.如圖，D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，若BD=8，sin∠CBD=，求AE的長(zhǎng).

　　5.如圖，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的長(zhǎng).

　　6.已知，如圖，以△ABC的邊BC為直徑的半圓交AB于D，交AC于E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BC，垂足為F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的長(zhǎng).