2019年中考數(shù)學模擬試題：四邊形習題
一、選擇題
1. (北京4分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O，若AD=1，BC=3，則的值為
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考點】梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。
【分析】根據(jù)梯形對邊平行的性質(zhì)易證△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到AO：CO的值：∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴。又∵AD=1，BC=3，
∴。故選B。
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2.(天津3分)如圖.將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF的大小為
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
【答案】C。
【考點】折疊對稱，正方形的性質(zhì)。
【分析】根據(jù)折疊后，軸對稱的性質(zhì)，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。故選C。
3.(內(nèi)蒙古包頭3分)已知菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是
A.16 B.16 C.8 D.8
【答案】C。
【考點】菱形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理。
【分析】由四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AC⊥BD，OA=AC，∠BAC=∠BAD;在Rt△AOB中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)和勾股定理即可求得OB=2，從而得BD=2OB=4。根據(jù)菱形的面積等于其對角線乘積的一半，即可求得該菱形的面積。該菱形的面積是：AB•BD=×4×4=8。故選C。
4.(內(nèi)蒙古呼和浩特3分)下列判斷正確的有
�、夙槾芜B接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點一定構成正方形;
�、谥行耐队暗耐队熬�彼此平行;
�、墼谥荛L為定值的扇形中，當半徑為時扇形的面積最大;
�、芟嗟鹊慕鞘菍斀堑哪婷}是真命題.
A、4個 B、3個 C、2個 D、1個
【答案】B。
【考點】三角形中位線性質(zhì)，正方形的判定，中心投影，弧長的計算，扇形面積的計算，二次函數(shù)最值，命題與定理，逆命題。
【分析】根據(jù)相關知識逐一判斷：
�、夙槾芜B接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點一定構成正方形，此命題正確，理由如下：
如圖，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形中位線定理，得EFAC，HGAC，HEDB，GFDB。
由AC=BD，AC⊥BD，根據(jù)正方形的判定可知四邊形EFGH是正方形。故①正確。
�、谥行耐队芭c原物體所對應點的連線都相交于一點，平行投影與原物體所對應點的連線都相互平行，故②錯誤。
�、墼谥荛L為定值的扇形中，當半徑為時扇形的面積最大，此命題正確，理由如下：
設a為扇形圓心角，r 為扇形半徑，s為扇形面積，則由周長為定值，弧長為
，∴。
由扇形面積。
∴根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)，得，當r=時扇形的面積最大。故③正確。
�、芟嗟鹊慕鞘菍斀堑哪婷}是：若兩個角是對頂角，則這兩個角相等，為真命題。故④正確。
故選B。
二、填空題
1.(河北省3分)如圖，已知菱形ABCD，其頂點A，B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為﹣4和1，則BC= ▲ .
【答案】5。
【考點】菱形的性質(zhì);數(shù)軸。
【分析】根據(jù)數(shù)軸上A，B在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為﹣4和1，得出AB=5，再根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，得BC=AB=5。
2.(山西省3分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件 ▲ ，可使它成為矩形.
【答案】∠ABC=90°或AC=BD。
【考點】矩形的判定。
【分析】根據(jù)矩形的的判定定理：①對角線相等的平行四邊形是矩形，②有一個角是直角的平行四邊形是矩形，直接添加條件即可。故添加條件：∠ABC=90°或AC=BD。
3.(內(nèi)蒙古烏蘭察布4分)如圖，是半徑為 6 的⊙D的圓周，C點是上的任意一點， △ABD是等邊三角形,則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是 ▲
【答案】。
【考點】動點問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理。
【分析】當點C與點B重合時，不構成四邊形，此時△ABC的周長是18，則四邊形ABCD的周長P都大于它;
當點C與點E重合時(如圖)，四邊形ABCD的周長P最大，根據(jù)勾股定理，可得BC=，此時四邊形ABCD的周長P=。
因此，四邊形ABCD的周長P的取值范圍是。
三、解答題
1.(河北省9分)如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，K分別在BC，AB上，點G在BA的延長線上，且CE=BK=AG.
(1)求證：①DE=DG; ②DE⊥DG
(2)尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG(要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明);
(3)連接(2)中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：
(4)當時，請直接寫出的值.
【答案】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°。
又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA(SAS)�！郉E=DG。
由△DCE≌△GDA得∠EDC=∠GDA，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，即∠GDE=90°�！郉E⊥DG。
(2)如圖.
(3)四邊形CEFK為平行四邊形。證明如下：
設CK、DE相交于M點，
∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，
∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG。
∵BK=AG，∴KG=AB=CD，
∴四邊形CKGD是平行四邊形�！郈K=DG=EF，CK∥DG
∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°�！唷螷ME+∠DEF=180°�！郈K∥EF。
∴四邊形CEFK為平行四邊形。
(4)=。
【考點】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖。
【分析】(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DE⊥DG。
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點F，得到正方形DEFG。
(3)由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形。
(4)設CE=1，由，得CD=CB=
在Rt△CED中，由勾股定理，得。
∴。
2.(內(nèi)蒙古呼和浩特7分)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.
(1)求證：EG=CF;
(2)將△ECF繞點E逆時針旋轉90°，請在圖中直接畫出旋轉后的圖形，并指出旋轉后CF與EG的位置關系.
【答案】解：(1)證明：∵正方形ABCD，點G，E為邊AB、BC中點，
∴AG=EC，即△BEG為等腰直角三角形�！唷螦GE=180°﹣45°=135°。
又∵CF為正方形外角平分線，∴∠ECF=90°+45°=135°。∴∠AGE=∠ECF。
∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF。
∴△AGE≌△ECF(ASA)。
∴EG=CF。
(2)畫圖如圖所示：
旋轉后CF與EG平行。
【考點】正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關系，旋轉的性質(zhì)，平行的判定。
【分析】(1)G、E分別為AB、BC的中點，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可證△AGE≌△ECF，從而得出結論。
(2)旋轉后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可判斷旋轉后CF與EG平行。
3.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾8分)如圖,四邊形ABCD中，對角
線相交于點O,E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC
的中點。
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊形EFGH是菱形?并證明你的結論。
【答案】解:(1)證明：∵E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點
∴EF∥AB ，EF=，
GH∥AB ， GH=AB ，
∴EF∥GH ，EF=GH。
∴EFGH是平行四邊形。
(2)當四邊形ABCD滿足AB=DC時， EFGH是菱形。證明如下：
∵ AB=DC， ∴EF=EH。
又∵ 四邊形EFGH是平行四邊形， ∴EFGH是菱形 。
【考點】三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定。
【分析】(1)根據(jù)三角形中位線平行且等于第三邊一半的性質(zhì)，可得四邊形EFGH的對邊EF和GH平行且相等，從而根據(jù)對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定而得證。
(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定可證。
，我們將會及時處理。
