2019年中考數(shù)學(xué)試卷

　　1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

　　(1)求AC、BC的長(zhǎng);

　　(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)，△PBQ的面積為y(cm2)，當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

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　　(3)當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由;

　　(4)當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解：(1)設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

　　即：(4x)2+(3x)2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm;

　　(2)①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，

　　∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

　　∴，∴QH=x，y=BP•QH=(10﹣x)•x=﹣x2+8x(0

　�、诋�(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，

　　∵AP=x，

　　∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

　　∴，即：，解得：QH′=(14﹣x)，

　　∴y=PB•QH′=(10﹣x)•(14﹣x)=x2﹣x+42(3

　　∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=;

　　(3)∵AP=x，AQ=14﹣x，

　　∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即：，

　　解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴，

　　∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似;

　　(4)存在.

　　理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

　　∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥AB，∴PQ⊥AC，

　　∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，

　　∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16.

　　2、(12分) 如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與點(diǎn)C、 D不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，PQ的中點(diǎn)為M.

　　(1)求證：△ADP∽△ABQ;

　　(2)若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x, BM 2=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長(zhǎng)的最小值;

　　(3)若AD=10, AB=a， DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍。

　　解：(1)證明：∵ 四邊形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°

　　∵∠ABC+∠ABQ=180°

　　∴∠ABQ=∠ADP =90°

　　∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90°

　　∴∠QAB+ ∠BAP=90°

　　又∵∠PAD+∠BAP=90°

　　∴∠PAD=∠QAB

　　在△ADP與△ABQ中

　　∵

　　∴△ADP∽△ABQ

　　(2)如圖，作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°

　　又∵∠MQN=∠PQC

　　∴△MQN∽△PQC ∴

　　∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn) ∴

　　∴

　　又∵

　　∴

　　∵△ADP∽△ABQ

　　∴ ∴

　　∵

　　∴

　　在Rt△MBN中，由勾股定理得：

　　即：

　　當(dāng)即時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值.

　　(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上時(shí)，此時(shí)QB=BC=10

　　由△ADP∽△ABQ得解得：

　　∴隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，

　　當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍為：

　　3、如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，且,點(diǎn)在拋物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線的解析式;

　　(2)若直線平分四邊形的面積，求的值.

　　(3)把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得不論取何值，直線與總是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)?若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　答案：(1)因?yàn)閽佄锞�關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0),

　　由點(diǎn)D(2，1.5)在拋物線上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

　　又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,從而c=1.5,所以.

　　24.(14分)(2013•溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A(6，0)，B(0.8)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，m)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，DE，以CD，DE為邊作▱CDEF.

　　(1)當(dāng)0

　　(2)當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使▱CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

　　(3)點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF為矩形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的m的值.

　　解答： 解：(1)∵A(6，0)，B(0，8).

　　∴OA=6，OB=8.

　　∴AB=10，

　　∵∠CEB=∠AOB=90°，

　　又∵∠OBA=∠EBC，

　　∴△BCE∽△BAO，

　　∴=，即=，

　　∴CE=﹣m;

　　(2)∵m=3，

　　∴BC=8﹣m=5，CE=﹣m=3.

　　∴BE=4，

　　∴AE=AB﹣BE=6.

　　∵點(diǎn)F落在y軸上(如圖2).

　　∴DE∥BO，

　　∴△EDA∽△BOA，

　　∴=即=.

　　∴OD=，

　　∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，0).

　　(3)取CE的中點(diǎn)P，過(guò)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G.

　　則CP=CE=﹣m.

　　(Ⅰ)當(dāng)m>0時(shí)，

　　①當(dāng)0

　　∴cos∠GCP=cos∠BAO=，

　　∴CG=CP•cos∠GCP=(﹣m)=﹣m.

　　∴OG=OC+OG=m+﹣m=m+.

　　根據(jù)題意得，得：OG=CP，

　　∴m+=﹣m，

　　解得：m=;

　�、诋�(dāng)m≥8時(shí)，OG>CP，顯然不存在滿(mǎn)足條件的m的值.

　　(Ⅱ)當(dāng)m=0時(shí)，即點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合(如圖4).

　　(Ⅲ)當(dāng)m<0時(shí)，

　　①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，(如圖5)，

　　易證△COA∽△AOB，

　　∴=，即=，

　　解得：m=﹣.

　�、诋�(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，(如圖6).

　　OG=OC﹣OG=﹣m﹣(﹣m)

　　=﹣m﹣.

　　由題意得：OG=CP，

　　∴﹣m﹣=﹣m.

　　解得m=﹣.

　　綜上所述，m的值是或0或﹣或﹣.

　　28、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線l1：y=3x，l2：y=x.點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).直線PQ交y軸正半軸于點(diǎn)Q，且分別交l1、l2于點(diǎn)A、B.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直線PQ的解析式為y=﹣x+t.△AOB的面積為Sl(如圖①).以AB為對(duì)角線作正方形ACBD，其面積為S2(如圖②).連接PD并延長(zhǎng)，交l1于點(diǎn)E，交l2于點(diǎn)F.設(shè)△PEA的面積為S3;(如圖③)

　　(1)Sl關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________　;(2)直線OC的函數(shù)解析式為　_________　;

　　(3)S2關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________　;(4)S3關(guān)于t的函數(shù)解析式為　_________　.

　　解：(1)由，

　　得，

　　∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(，)

　　由

　　得

　　∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(，).

　　∴S1=S△AOP﹣S△BOP=t2(2)由(1)得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，).

　　設(shè)直線OC的解析式為y=kx，根據(jù)題意得=，

　　∴k=，

　　∴直線OC的解析式為y=x.

　　(3)由(1)、(2)知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)CB=t﹣=，

　　∴S2=CB2=()2=.

　　(4)設(shè)直線PD的解析式為y=k1x+b，由(1)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，)，

　　將P(t，0)、D()代入得，

　　解得

　　∴直線PD的解析式為y=

　　由，

　　得

　　∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(，)

　　∴S3=S△EOP﹣S△AOP=t•t﹣t•t=t2.

　　25.(10分)(2013•天津)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(0，4)，點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA.

　　(Ⅰ)如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo);

　　(Ⅱ)如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′.

　�、僭O(shè)AA′=m，其中0

　�、诋�(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

　　考點(diǎn)： 相似形綜合題.3718684

　　分析： (Ⅰ)根據(jù)相似三角形△OAE∽△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到=，則易求OE=1，所以E(0，1);

　　(Ⅱ)如圖②，連接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則

　　A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.所以由二次函數(shù)最值的求法知，當(dāng)m=1即點(diǎn)E′的坐標(biāo)是(1，1)時(shí)，A′B2+BE′2取得最小值.

　　解答： 解：(Ⅰ)如圖①，∵點(diǎn)A(﹣2，0)，點(diǎn)B(0，4)，

　　∴OA=2，OB=4.

　　∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，

　　∴△OAE∽△OBA，

　　∴=，即=，

　　解得，OE=1，

　　∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，1);

　　(Ⅱ)①如圖②，連接EE′.

　　由題設(shè)知AA′=m(0

　　在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2﹣m)2+42=m2﹣4m+20.

　　∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，

　　∴EE′∥AA′，且EE′=AA′.

　　∴∠BEE′=90°，EE′=m.

　　又BE=OB﹣OE=3，

　　∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，

　　∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2(m﹣1)2+27.

　　當(dāng)m=1時(shí)，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是(1，1).

　　②如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3.

　　易證△AB′A′≌△EBE′，

　　∴B′A=BE′，

　　∴A′B+BE′=A′B+B′A′.

　　當(dāng)點(diǎn)B、A′、B′在同一條直線上時(shí)，A′B+B′A′最小，即此時(shí)A′B+BE′取得最小值.

　　易證△AB′A′∽△OBA′，

　　∴==，

　　∴AA′=×2=，

　　∴EE′=AA′=，

　　∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)是(，1).

　　點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn).此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握.

　　17、(12分)(2013•雅安)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H.

　　(1)求該拋物線的解析式;

　　(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值;

　　(3)如圖(2)，若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)( E與A、D不重合)，過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S.

　�、偾骃與m的函數(shù)關(guān)系式;

　�、赟是否存在最大值?若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo); 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解：(1)由題意可知：

　　解得：

　　∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3;

　　(2)∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC

　　∵BC是定值，

　　∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，

　　∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸I對(duì)稱(chēng)，

　　∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)

　　∵AP=BP

　　∴△PBC的周長(zhǎng)最小是：PB+PC+BC=AC+BC

　　∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)，

　　∴AC=3，BC=;

　　(3)①∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1，4)

　　∵A(﹣3，0)

　　∴直線AD的解析式為y=2x+6

　　∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，

　　∴E(m，2m+6)，F(xiàn)(m，﹣m2﹣2m+3)

　　∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣(2m+6)

　　=﹣m2﹣4m﹣3

　　∴S=S△DEF+S△AEF

　　=EF•GH+EF•AC

　　=EF•AH

　　=(﹣m2﹣4m﹣3)×2

　　=﹣m2﹣4m﹣3;

　　②S=﹣m2﹣4m﹣3

　　=﹣(m+2)2+1;

　　∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1

　　此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣2，2).

　　16、(12分)(2013•南昌)已知拋物線yn=﹣(x﹣an)2+an(n為正整數(shù)，且0

　　(1)求a1，b1的值及拋物線y2的解析式;

　　(2)拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(　 　，　 　);依此類(lèi)推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(　 　，　 　);所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式是　 　;

　　(3)探究下列結(jié)論：

　　①若用An﹣1An表示第n條拋物線被x軸截得的線段長(zhǎng)，直接寫(xiě)出A0A1的值，并求出An﹣1An;

　�、谑欠翊嬖诮�(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)的直線和所有拋物線都相交，且被每一條拋物線截得的線段的長(zhǎng)度都相等?若存在，直接寫(xiě)出直線的表達(dá)式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　解：(1)∵當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=﹣(x﹣a1)2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0(0，0)，

　　∴0=﹣(0﹣a1)2+a1，解得a1=1或a1=0.

　　由已知a1>0，∴a1=1，

　　∴y1=﹣(x﹣1)2+1.

　　令y1=0，即﹣(x﹣1)2+1=0，解得x=0或x=2，

　　∴A1(2，0)，b1=2.

　　由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線y2=﹣(x﹣a2)2+a2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1(2，0)，

　　∴0=﹣(2﹣a2)2+a2，解得a2=1或a2=4，

　　∵a1=1，且已知a2>a1，

　　∴a2=4，

　　∴y2=﹣(x﹣4)2+4.

　　∴a1=1，b1=2，y2=﹣(x﹣4)2+4.

　　(2)拋物線y2=﹣(x﹣4)2+4，令y2=0，即﹣(x﹣4)2+4=0，解得x=2或x=6.

　　∵A1(2，0)，

　　∴A2(6，0).

　　由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線y3=﹣(x﹣a3)2+a3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2(6，0)，

　　∴0=﹣(6﹣a3)2+a3，解得a3=4或a3=9.

　　∵a2=4，且已知a3>a2，

　　∴a3=9，

　　∴y3=﹣(x﹣9)2+9.

　　∴y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9，9).

　　由y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，1)，y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)(4，4)，y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)(9，9)，

　　依此類(lèi)推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n2，n2).

　　∵所有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，

　　∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x.

　　(3)①∵A0(0，0)，A1(2，0)，

　　∴A0A1=2.

　　yn=﹣(x﹣n2)2+n2，令yn=0，即﹣(x﹣n2)2+n2=0，

　　解得x=n2+n或x=n2﹣n，

　　∴An﹣1(n2﹣n，0)，An(n2+n，0)，即An﹣1An=(n2+n)﹣(n2﹣n)=2n.

　　②存在.

　　設(shè)過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線解析式為y=kx+b，則有：0=2k+b，得b=﹣2k，

　　∴y=kx﹣2k.

　　設(shè)直線y=kx﹣2k與拋物線yn=﹣(x﹣n2)2+n2交于E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)兩點(diǎn)，

　　聯(lián)立兩式得：kx﹣2k=﹣(x﹣n2)2+n2，整理得：x2+(k﹣2n2)x+n4﹣n2﹣2k=0，

　　∴x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k.

　　過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥FG于點(diǎn)G，則EG=x2﹣x1，

　　FG=y2﹣y1=[﹣(x2﹣n2)2+n2]﹣[﹣(x1﹣n2)2+n2]=(x1+x2﹣2n2)(x1﹣x2)=k(x2﹣x1).

　　在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，

　　即：EF2=(x2﹣x1)2+[k(x2﹣x1)]2=(k2+1)(x2﹣x1)2=(k2+1)[(x1+x2)2﹣4x1•x2]，

　　將x1+x2=2n2﹣k，x1•x2=n4﹣n2﹣2k代入，整理得：EF2=(k2+1)[4n2•(1﹣k)+k2+8k]，

　　當(dāng)k=1時(shí)，EF2=(1+1)(1+8)=9，∴EF=3為定值，

　　∴k=1滿(mǎn)足條件，此時(shí)直線解析式為y=x﹣2.

　　∴存在滿(mǎn)足條件的直線，該直線的解析式為y=x﹣2.

　　15.(2012義烏市)如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A(3，6).

　　(1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長(zhǎng)度;

　　(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M(點(diǎn)M、O不重合)，交直線OA于點(diǎn)Q，再過(guò)點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N.試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值?如果是，求出這個(gè)定值;如果不是，說(shuō)明理由;

　　(3)如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上(與點(diǎn)O、A不重合)，點(diǎn)D(m，0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)?

　　解答：解：(1)把點(diǎn)A(3，6)代入y=kx 得;

　　∵6=3k，

　　∴k=2，

　　∴y=2x.(2012義烏市)

　　OA=.…(3分)

　　(2)是一個(gè)定值，理由如下：

　　如答圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H.

　�、佼�(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，

　　此時(shí);

　�、诋�(dāng)QH與QM不重合時(shí)，

　　∵QN⊥QM，QG⊥QH

　　不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，

　　∴∠MQH=∠GQN，

　　又∵∠QHM=∠QGN=90°

　　∴△QHM∽△QGN…(5分)，

　　∴，

　　當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得. …(7分)①①

　　(3)如答圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R

　　∵∠AOD=∠BAE，

　　∴AF=OF，

　　∴OC=AC=OA=

　　∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

　　∴△AOR∽△FOC，

　　∴，

　　∴OF=，

　　∴點(diǎn)F(，0)，

　　設(shè)點(diǎn)B(x，)，

　　過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，

　　∴，

　　即，

　　解得x1=6，x2=3(舍去)，

　　∴點(diǎn)B(6，2)，

　　∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

　　∴AB=5 …(8分);

　　(求AB也可采用下面的方法)

　　設(shè)直線AF為y=kx+b(k≠0)把點(diǎn)A(3，6)，點(diǎn)F(，0)代入得

　　k=，b=10，

　　∴，

　　∴，

　　∴(舍去)，，

　　∴B(6，2)，

　　∴AB=5…(8分)

　　(其它方法求出AB的長(zhǎng)酌情給分)

　　在△ABE與△OED中

　　∵∠BAE=∠BED，

　　∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

　　∴∠ABE=∠DEO，

　　∵∠BAE=∠EOD，

　　∴△ABE∽△OED.…(9分)

　　設(shè)OE=x，則AE=﹣x ()，

　　由△ABE∽△OED得，

　　∴

　　∴()…(10分)

　　∴頂點(diǎn)為(，)

　　如答圖3，當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè);

　　當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè).

　　∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)…(11分)

　　當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)…(12分).

　　已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D。

　　(Ⅰ)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

　　(Ⅱ)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍;

　　(Ⅲ)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，且使B′D∥OB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。

　　解：(Ⅰ)如圖(1)，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC，

　　則△ACD≌△BCD，

　　設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，m)(m>0)，

　　則BC=OB-OC=4-m，

　　于是AC=BC=4-m，

　　在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，

　　即(4-m)2=m2+22，解得m=，

　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為;

　　(Ⅱ)如圖(2)，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′連接B′C，B′D，

　　則△B′CD≌△BCD，

　　由題設(shè)OB′=x，OC=y，

　　則B′C=BC=OB-OC=4-y，

　　在Rt△B′OC中，由勾股定理，

　　得B′C2=OC2+OB′2，

　　∴(4-y)2=y2+x2，

　　即，

　　由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，

　　∴解析式(0≤x≤2)為所求，

　　∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，

　　∴y的取值范圍為;

　　(Ⅲ)如圖(3)，折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B′，連接B′C，B′D，B′D∥OB，

　　則∠OCB′=∠CB′D，

　　又∵∠CBD=∠CB′D，

　　∴∠CB′=∠CBD，

　　∴CB′∥BA，

　　∴Rt△COB′∽R(shí)t△BOA，

　　有，

　　得OC=20B′，

　　在Rt△B′OC中，設(shè)OB′=x0(x0>0)，則OC=2x0，

　　由(Ⅱ)的結(jié)論，得2x0=，

　　解得x0=，

　　∵x0>0，

　　∴x0=，

　　∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為。

　　12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1，AO=2.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=mx2﹣x+n的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2.

　　(1)求出該拋物線的解析式.

　　(2)如圖1，將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和C.現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：

　�、賹⑷�角板從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交OA、OC于點(diǎn)E、F，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn).請(qǐng)你觀察、猜想，在這個(gè)過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化，求出的值.

　�、谠O(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，頂點(diǎn)為M，在①的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F，使△DMF為等腰三角形?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

　　(1)∵拋物線y=mx2﹣x+n經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴n=0.

　　∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，∴﹣=2，解得m=.

　　∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x.

　　(2)①的值不變.理由如下：

　　如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，則PG=AO=2.

　　∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF.

　　在Rt△PAE與Rt△PGF中，

　　∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，

　　∴Rt△PAE∽R(shí)t△PGF.

　　∴==.

　�、诖嬖�.

　　拋物線的解析式為：y=x2﹣x，

　　令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D(4，0).

　　又y=x2﹣x=(x﹣2)2﹣1，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(2，﹣1).

　　若△DMF為等腰三角形，可能有三種情形：

　　(I)FM=FD.如答圖2所示：

　　過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則MN=1，ND=2，MD===.

　　設(shè)FM=FD=x，則NF=ND﹣FD=2﹣x.

　　在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，

　　即：(2﹣x)2+1=x2，解得：x=，

　　∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=，

　　∴F(，0);

　　(II)若FD=DM.如答圖3所示：

　　此時(shí)FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣.

　　∴F(4﹣，0);

　　(III)若FM=MD.

　　由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合.

　　而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O.

　　∴此種情形不存在.

　　綜上所述，存在點(diǎn)F(，0)或F(4﹣，0)，使△DMF為等腰三角形.

　　11、

　　請(qǐng)你和艾思軻同學(xué)一起嘗試探究下列問(wèn)題：

　　(1)①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為 ;

　　②在平移過(guò)程中，的值為 (用含x的代數(shù)式表示);

　　(2)艾思軻同學(xué)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題中的其他條件保持不變.

　　當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)你幫他補(bǔ)全圖形，并計(jì)算的值;

　　(3)艾思軻同學(xué)又將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，，原題中的其他條件保持不變.請(qǐng)你計(jì)算的值(用含x的代數(shù)式表示).

　　11.解：(1)① 1. ………………………………………………………………………(2分)

　�、�. ………………………………………………………………………(2分)

　　(2)聯(lián)結(jié)AE，補(bǔ)全圖形如圖1所示.…………………………………………(1分)

　　∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，

　　∠ABC =∠DEF = 90°，AB = 1，DE = 2，

　　∴BC = 1，EF = 2，∠DFE =∠ACB = 45°.

　　∴，，∠EFB = 90°.

　　∴，∴點(diǎn)A為DF的中點(diǎn).………………………(1分)

　　∴EA⊥DF，EA平分∠DEF.

　　∴∠MAE = 90°，∠AEF = 45°，.

　　∵∠MEB =∠AEF = 45°，∴∠MEA =∠BEF.

　　∴Rt△MAE∽R(shí)t△BFE.……………………………………………………(1分)

　　∴，∴.……………………………………………(1分)

　　∴，∴.……………………(1分)

　　(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線交直線EM于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)AG.

　　∵∠EBG = 90°，∠BEM = 45°，∴∠BGE = 45°.

　　∴BE = BG.…………………………………………………………………(1分)

　　∵∠ABC =∠EBG = 90°，∴∠ABG =∠CBE.……………………………(1分)

　　又∵BA = BC，∴△ABG≌△CBE.………………………………………(1分)

　　∴AG = CE = x，∠AGB =∠CEB.

　　∵∠AGB +∠AGM =∠CEB +∠DEM = 45°，

　　∴∠AGM =∠DEM，∴AG∥DE.…………………………………………(1分)

　　∴.…………………………………………………………(1分)

　　注：第(3)小題直接寫(xiě)出結(jié)果不得分

　　10、如圖，拋物線：y=ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)和B(4，0)、與y軸交于點(diǎn)C.

　　(1)求拋物線的解析式;

　　(2)T是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且△ACT是以AC為底的等腰三角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo);

　　3)點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸同時(shí)出發(fā)相向而行.當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒3/2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M的直線l⊥軸，交AC或BC于點(diǎn)P.求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)與△APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

　　(1)、

　�、�

　�、�

　　9、如圖 (1)，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠DEF=90°，固定△ABC，將△EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)于G、H點(diǎn)，如圖(2).

　　(1)問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有( )及( );

　　(2)設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖(2)的情況說(shuō)明理由);

　　(3)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，△AGH是等腰三角形?

　　解：(1)△HGA及△HAB;

　　(2)由(1)可知△AGC∽△HAB

　　∴即=，所以，y=

　　(3)當(dāng)CG

　　∴AC

　　∴AGAG,AH>GH

　　此時(shí)，△AGH不可能是等腰三角形;

　　當(dāng)CG=BC時(shí)，G為BC的中點(diǎn)，H與C重合，

　　△AGH是等腰三角形;

　　此時(shí)，GC=，即x= 當(dāng)CG>BC時(shí)，

　　由(1)可知△AGC∽△HGA，

　　所以，若△AGH是等腰三角形，只可能存在AG=AH

　　若AG=AH，則AC=CG，此時(shí)x=9.

　　綜上，當(dāng)x=9或時(shí)，△AGH是等腰三角形.

　　8、如圖，已知二次函數(shù)y=的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸

　　交于B、C兩點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D，連接AC.

　　(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)______ ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)______ ;

　　(2)線段AC上是否存在點(diǎn)E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

　　(3)點(diǎn)P為x軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?

　　28.解：(1)A(0，4)，C(8，0).…………………………………………………………2分

　　(2)易得D(3，0)，CD=5.設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，

　　則 解得 ∴. ……………………………………3分

　�、佼�(dāng)DE=DC時(shí)，∵OA=4，OD=3.∴DA=5，∴(0，4). ………………………4分

　�、诋�(dāng)ED=EC時(shí)，可得(，).……………5分

　�、郛�(dāng)CD=CE時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD，

　　則△CEG ∽△CAO，∴.

　　即，，∴(，).……………………………………6分

　　綜上，符合條件的點(diǎn)E有三個(gè)：(0，4)，(，)，(，).

　　(3)如圖，過(guò)P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC于點(diǎn)Q.

　　設(shè)P(m，)，則Q(，).

　　①當(dāng)時(shí)，

　　PQ=()()=，

　　，…………………………7分

　　∴; ……………………………………………………………………………8分

　�、诋�(dāng)時(shí)，

　　PQ=()()=，

　　，

　　∴.………………………………………………………………………………9分

　　故時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有兩個(gè).………………………………………………10分

　　7、如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.

　　(1)求拋物線的解析式

　　(2)在拋物線上求點(diǎn)M，使△MOB的面積是△AOB面積的2倍;

　　(3)點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、B、P、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在，求出P的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。