∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個交點，

　　∴一元二次方程根的判別式等于0，

　　即Δ=02+16(p-3)=0，解得p=3.

　　∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.

　　當(dāng)x=2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4.

　　15.解：(1)設(shè)此拋物線的解析式為y=a(x-3)2+4，

　　此拋物線過點A(0，-5)，

　　∴-5=a(0-3)2+4，∴a=-1.

　　∴拋物線的解析式為y=-(x-3)2+4，

　　即y=-x2+6x-5.

　　(2)拋物線的對稱軸與⊙C相離.

　　證明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，

　　∴B(1,0)，C(5,0).

　　設(shè)切點為E，連接CE，

　　由題意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

　　∴ABBC=OBCE，即12+524=1CE，

　　解得CE=426.

　　∵以點C為圓心的圓與直線BD相切，⊙C的半徑為r=d=426.

　　又點C到拋物線對稱軸的距離為5-3=2，而2>426.

　　則此時拋物線的對稱軸與⊙C相離.

　　(3)假設(shè)存在滿足條件的點P(xp，yp)，

　　∵A(0，-5)，C(5,0)，

　　∴AC2=50，

　　AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.

　�、佼�(dāng)∠A=90°時，在Rt△CAP中，

　　由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，

　　∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，

　　整理，得xp+yp+5=0.

　　∵點P(xp，yp)在拋物線y=-x2+6x-5上，

　　∴yp=-x2p+6xp-5.

　　∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，

　　解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.

　　∴點P為(7，-12)或(0，-5)(舍去).

　�、诋�(dāng)∠C=90°時，在Rt△ACP中，

　　由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，

　　∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，

　　整理，得xp+yp-5=0.

　　∵點P(xp，yp)在拋物線y=-x2+6x-5上，

　　∴yp=-x2p+6xp-5，

　　∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，

　　解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.

　　∴點P為(2,3)或(5,0)(舍去)

　　綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為(7，-12)或(2,3).