B級　中等題

　　11.(2013年山東淄博)在△ABC中，P是AB上的動點(P異于A，B)，過點P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線.如圖6­4­21，∠A=36°，AB=AC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有__________條.

　　圖6­4­21

　　12.如圖6­4­22，大江的同一側有A，B兩個工廠，它們都有垂直于江邊的小路，AD，BE的長度分別為3千米和2千米，且兩條小路之間的距離為5千米.現(xiàn)要在江邊建一個供水站向A，B兩廠送水，欲使供水管路最短，則供水站應建在距E處多遠的位置?

　　13.(2012年湖南株洲)如圖6­4­23，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.點M在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒;同時點N在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒，運動時間為t秒.

　　(1)當t為何值時，∠AMN=∠ANM;

　　(2)當t為何值時，△AMN的面積最大?并求出這個最大值.

　　圖6­4­23

　　C級　拔尖題

　　14.(2013年山東濱州)某高中學校為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如圖6­4­24.其中BA=CD，BC=20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm,8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應為多長(材質及其厚度等暫忽略不計)?

　　圖形的相似

　　11.3

　　12.解：如圖55，作出點B關于江邊的對稱點C，連接AC，則BF+FA=CF+FA=CA.

　　根據(jù)兩點之間線段最短，可知當供水站在點F處時，供水管路最短.

　　∵△ADF∽△CEF，

　　∴設EF=x，則FD=5-x，

　　根據(jù)相似三角形的性質，得

　　EFFD=CEAD，即x5-x=23，解得x=2.

　　故供水站應建在距E點2千米處.

　　圖55

　　13.解：(1)由題意，得AM=12-t，AN=2t.

　　∵∠AMN=∠ANM，

　　∴AM=AN，從而12-t=2t，

　　解得t=4秒.

　　∴當t為4秒時，∠AMN=∠ANM.

　　(2)如圖56，過點N作NH⊥AC于點H，

　　∴∠NHA=∠C=90°.

　　∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA.

　　∴ANAB=NHBC，即2t13=NH5，∴NH=10t13.

　　從而有S△AMN=12(12-t)•10t13=-513t2+6013t，

　　∴當t=6時，S有最大值為18013.

　　14.解：如圖57，過點C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.

　　由題意，得四邊形ABCM是平行四邊形，

　　∴EN=AM=BC=20 cm.

　　∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).

　　由題意知CP=40 cm，PQ=8 cm，∴CQ=32 cm.

　　∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.

　　∴NFMD=CQCP，即NF30=3240.

　　解得NF=24 cm.

　　∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).

　　答：橫梁EF應為44 cm.