一、選擇題

　　1.(2013•成都)在平面直角坐標系中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過原點的是(　　)

　　A.y=-x+3 B.y= C.y=2x D.y=-2x2+x-7

　　1.C

　　2.(2013•紹興)若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是(　　)

　　A.90° B.120° C.150° D. 180°

　　2.D

　　3.(2013•濰坊)對于實數(shù)x，我們規(guī)定[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1，[3]=3，[-2.5]=-3，若[ ]=5，則x的取值可以是(　　)

　　A.40 B.45 C.51 D.56

　　3.C

　　4.(2013•烏魯木齊)對平面上任意一點(a，b)，定義f，g兩種變換：f(a，b)=(a，-b).如f(1，2)=(1，-2);g(a，b)=(b，a).如g(1，2)=(2，1).據(jù)此得g(f(5，-9))=(　　)

　　A.(5，-9) B.(-9，-5) C.(5，9) D.(9，5)

　　4.D

　　5.(2013•常德)連接一個幾何圖形上任意兩點間的線段中，最長的線段稱為這個幾何圖形的直徑，根據(jù)此定義，圖(扇形、菱形、直角梯形、紅十字圖標)中“直徑”最小的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　5.C

　　二、填空題

　　6.(2013•上海)當三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”.如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內(nèi)角的度數(shù)為 .

　　6.30°

　　7.(2013•宜賓)如圖，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是 .

　　7.4π

　　8.(2013•淄博)在△ABC中，P是AB上的動點(P異于A，B)，過點P的一條直線截△ABC，使 截得的 三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線.如圖，∠A=36°，AB=AC，當點P在AC的垂直平分線上時，過點P的△ABC的相似線最多有 條.

　　8.3

　　9.(2013•樂山)對非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為(x).即當n為非負整數(shù)時，若n- ≤x

　　給出下列關于(x)的結(jié)論：

　　①(1.493)=1;

　�、�(2x)=2(x);

　　③若( x-1)=4，則實數(shù)x的取值范圍是9≤x<11;

　�、墚攛≥0，m為非負整數(shù)時，有(m+2013x)=m+(2013x);

　�、�(x+y)=(x)+(y);

　　其中，正確的結(jié)論有 (填寫所有正確的序號).

　　9.①③④

　　三、解答題

　　10.(2013•莆田)定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC•AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點.

　　如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D.

　　(1)求證：點D是線段AC的黃金分割點;

　　(2)求出線段AD的長.

　　10.解：(1)∵∠A=36°，AB=AC，

　　∴∠ABC=∠ACB=72°，

　　∵BD平分∠ABC，

　　∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，

　　∴AD=BD，BC=BD，

　　∴△ABC∽△BDC，

　　∴ ，即 ，

　　∴AD2=AC•CD.

　　∴點D是線段AC的黃金分割點.

　　(2)∵點D是線段AC的黃金分割點，

　　∴AD= AC= .

　　11.(2013•大慶)對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：

　　sinα=sin(180°-α)，cosα=-cos(180°-α)

　　(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值;

　　(2)若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程4x2-mx-1=0的兩個不相等的實數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大小.

　　11.解：(1)由題意得，

　　sin120°=sin(180°-120°)=sin60°= ，

　　cos120°=-cos(180°-120°)=-cos60°=- ，

　　sin150°=sin(180°-150°)=sin30°= ;

　　(2)∵三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，

　　∴三個內(nèi)角分別為30°，30°，120°，

　�、佼敗螦=30°，∠B=120°時，方程的兩根為 ，- ，

　　將 代入方程得：4×( )2-m× -1=0，

　　解得：m=0，

　　經(jīng)檢驗- 是方程4x2-1=0的根，

　　∴m=0 符合題意;

　�、诋敗螦=120°，∠B=30°時，兩根為 ， ，不符合題意;

　�、郛敗螦=30°，∠B=30°時，兩根為 ， ，

　　將 代入方程得：4×( )2 -m× -1=0，

　　解得：m=0，

　　經(jīng)檢驗 不是方程4x2-1=0的根.

　　綜上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°.

　　12.(2013•安徽)我們把由不平行于底的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”.如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”.其中∠B=∠C.

　　(1)在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引 一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形(畫出一種示意圖即可);

　　(2)如圖2，在“準等腰梯形”ABCD中∠B=∠C.E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證： ;

　　(3)在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E.若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內(nèi)部時(即圖3所示情形)，四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么?若點E不在四邊形ABCD內(nèi)部時，情況又將如何?寫出你的結(jié)論.(不必說明理由)

　　12.解：(1)如圖1，過點D作DE∥BC交PB于點E，則四邊形ABCD分割成一個等腰梯形BCDE和一個三角形ADE;

　　(2)∵AB∥DE，

　　∴∠B=∠DEC，

　　∵AE∥DC，

　　∴∠AEB=∠C，

　　∵∠B=∠C，

　　∴∠B=∠AEB，

　　∴AB=AE.

　　∵在△ABE和△DEC中，

　　，

　　∴△ABE∽△DEC，

　　∴ ，

　　∴ ;

　　(3)作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

　　∴∠BFE=∠CHE=90°.

　　∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

　　∴EF=EG=EH，

　　在Rt△EFB和Rt△EHC中

　　，

　　∴Rt△EFB≌Rt△EHC(HL)，

　　∴∠3=∠4.

　　∵BE=CE，

　　∴∠1=∠2.

　　∴∠1+∠3=∠2+∠4

　　即∠ABC=∠DCB，

　　∵ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，

　　∴ABCD是“準等腰梯形”.

　　當點E不在四邊形ABCD的內(nèi)部時，有兩種情況：

　　如圖4，當點E在BC邊上時，同理可以證明△EFB≌△EHC，

　　∴∠B=∠C，

　　∴ABCD是“準等腰梯形”.

　　如圖5，當點E在四邊形ABCD的外部時，同理可以證明△EFB≌△EHC，

　　∴∠EBF=∠ECH.

　　∵BE=CE，

　　∴∠3=∠4，

　　∴∠EBF-∠3=∠ECH-∠4，

　　即∠1=∠2，

　　∴四邊形ABCD是“準等腰梯形”.

　　13.(2013•北京)對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙C，給出如下的定義：若⊙C上存在兩個點A、B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C的關聯(lián)點.已知點D( ， )，E(0，-2)，F(xiàn)(2 ，0).

　　(1)當⊙O的半徑為1時，

　�、僭邳cD、E、F中，⊙O的關聯(lián)點是 .

　　②過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線l上的點P(m，n)是⊙O的關聯(lián)點，求m的取值范圍;

　　(2)若線段EF上的所有點都是某個 圓的關聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

　　13.解：(1)①如圖1所示，過點E作⊙O的切線設切點為R，

　　∵⊙O的半徑為1，∴RO=1，

　　∵EO=2，

　　∴∠OER=30°，

　　根據(jù)切線長定理得出⊙O的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30°，

　　∴E點是⊙O的關聯(lián)點，

　　∵D( ， )，E(0，-2)，F(xiàn)(2 ，0)，

　　∴OF>EO，DO

　　∴D點一定是⊙O的關聯(lián)點，而在⊙O上不可能找到兩點使得組成的角度等于60°，

　　故在點D、E、F中，⊙O的關聯(lián)點是D，E;

　　故答案為：D，E;

　�、谟深}意可知，若P要剛好是⊙C的關聯(lián)點，

　　需要點P到⊙C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°，

　　由圖2可知∠APB=60°，則∠CPB=30°，

　　連接BC，則PC= =2BC=2r，

　　∴若P點為⊙C的關聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r;

　　由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，

　　如圖3，點P到原點的距離OP=2×1=2，

　　過點O作l軸 的垂線OH，垂足為H，tan∠OGF= = ，

　　∴∠OGF=60°，

　　∴OH=OGsin60°= ;

　　sin∠OPH= ，

　　可得點P1與點G重合，

　　過點P2作P2M⊥x軸于點M，

　　可得∠P2OM=30°，

　　從而若點P為⊙O的關聯(lián)點，則P點必在線段P1P2上，

　　∴0≤m≤ ;

　　(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應在線段EF的中點;

　　考慮臨界情況，如圖4，

　　即恰好E、F點為⊙K的關聯(lián)時，則KF=2KN= EF=2，

　　此時，r=1，

　　故若線段EF上的所有點都是某個圓的關聯(lián)點，這個圓的半徑r的取值范圍為r≥1.