1.整數(shù)的整除性的有關(guān)概念、性質(zhì)

　　(1)整除的定義：對于兩個整數(shù)a、d(d≠0)，若存在一個整數(shù)p，使得成立，則稱d整除a，或a被d整除，記作d|a。

　　若d不能整除a，則記作da，如2|6，46。

　　(2)性質(zhì)

　　1)若b|a，則b|(-a)，且對任意的非零整數(shù)m有bm|am

　　2)若a|b，b|a，則|a|=|b|;

　　3)若b|a，c|b，則c|a

　　4)若b|ac，而(a，b)=1((a，b)=1表示a、b互質(zhì)，則b|c;

　　5)若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c;

　　6)若c|a，c|b，則c|(ma+nb)，其中m、n為任意整數(shù)(這一性質(zhì)還可以推廣到更多項的和)

　　例1(1987年北京初二數(shù)學(xué)競賽題)x，y，z均為整數(shù)，若11|(7x+2y-5z)，求證：11|(3x-7y+12z)。

　　證明∵4(3x-7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z)

　　而11|11(3x-2y+3z),

　　且11|(7x+2y-5z),

　　∴11|4(3x-7y+12z)

　　又(11,4)=1

　　∴11|(3x-7y+12z).

　　2.整除性問題的證明方法

　　(1)利用數(shù)的整除性特征(見第二講)

　　(2)利用連續(xù)整數(shù)之積的性質(zhì)

　　①任意兩個連續(xù)整數(shù)之積必定是一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之一積，因此一定可被2整除。

　　②任意三個連續(xù)整數(shù)之中至少有一個偶數(shù)且至少有一個是3的倍數(shù)，所以它們之積一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。

　　這個性質(zhì)可以推廣到任意個整數(shù)連續(xù)之積。

　　例4一整數(shù)a若不能被2和3整除，則a2+23必能被24整除.

　　證明∵a2+23=(a2-1)+24，只需證a2-1可以被24整除即可.

　　∵2.∴a為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(k為整數(shù)),

　　則a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).

　　∵k、k+1為二個連續(xù)整數(shù)，故k(k+1)必能被2整除，

　　∴8|4k(k+1)，即8|(a2-1).

　　又∵(a-1)，a，(a+1)為三個連續(xù)整數(shù)，其積必被3整除，即3|a(a-1)(a+1)=a(a2-1)，

　　∵3a，∴3|(a2-1).3與8互質(zhì),∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.

　　(3)利用整數(shù)的奇偶性

　　下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識來解幾個整數(shù)問題.

　　例7(美國第4屆數(shù)學(xué)邀請賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?

　　解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.

　　若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當n+10的值為最大時,相應(yīng)地n的值為最大.因為900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.

　　1.選擇題

　　(1)(1987年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)若數(shù)n=20·30·40·50·60·70·80·90·100·110·120·130，則不是n的因數(shù)的最小質(zhì)數(shù)是().

　　(A)19(B)17(C)13(D)非上述答案

　　(2)在整數(shù)0、1、2…、8、9中質(zhì)數(shù)有x個，偶數(shù)有y個，完全平方數(shù)有z個，則x+y+z等于().

　　(A)14(B)13(C)12(D)11(E)10

　　(3)可除盡311+518的最小整數(shù)是().

　　(A)2(B)3(C)5(D)311+518(E)以上都不是

　　2.填空題

　　(1)(1973年加拿大數(shù)學(xué)競賽題)把100000表示為兩個整數(shù)的乘積，使其中沒有一個是10的整倍數(shù)的表達式為__________.

　　(2)一個自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù),與3的差是6的倍數(shù),這樣的自然數(shù)中最小的是_________.

　　(3)(1989年全國初中聯(lián)賽題)在十進制中,各位數(shù)碼是0或1,并且能被225整除的最小自然數(shù)是________.