12.G是△ABC的重心，以AG為弦作圓切BG于G，延長(zhǎng)CG交圓于D。求證：AG2=GC·GD。

　　【分析】

　　【評(píng)注】平移變換

　　13.C是直徑AB=2的⊙O上一點(diǎn)，P在△ABC內(nèi)，若PA+PB+PC的最小值是 ，求此時(shí)△ABC的面積S。

　　【分析】

　　【評(píng)注】旋轉(zhuǎn)變換

　　費(fèi)馬點(diǎn)： 已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°;P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC≥OA+OB+OC。(O為費(fèi)馬點(diǎn))

　　【分析】將C C‘，O O’， P P‘，連結(jié)OO’、PP‘。則△B OO’、△B PP‘都是正三角形。

　　∴OO’=OB，PP‘=PB。顯然△BO’C‘≌△BOC，△BP’C‘≌△BPC。

　　由于∠BO’C‘=∠BOC=120°=180°-∠BO’O，∴A、O、O‘、C’四點(diǎn)共線。

　　∴AP+PP‘+P’C‘≥AC’=AO+OO‘+O’C‘，即PA+PB+PC≥OA+OB+OC。

　　14.(95全國(guó)競(jìng)賽) 菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別交于E、F、G、H，在弧EF和弧GH上分別作⊙O的切線交AB、BC、CD、DA分別于M、N、P、Q。

　　求證：MQ//NP。

　　【分析】由AB∥CD 知：要證MQ∥NP，只需證∠AMQ=∠CPN，

　　結(jié)合∠A=∠C知，只需證

　　△AMQ∽△CPN

　　← ，AM·CN=AQ·CP。

　　連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，則

　　∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

　　∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

　　∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

　　又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是 ，

　　∴AM·CN=AO·CO

　　同理，AQ·CP=AO·CO。

　　【評(píng)注】

　　15.(96全國(guó)競(jìng)賽)⊙O1和⊙O2與ΔABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長(zhǎng)線交于P。 求證：PA⊥BC。

　　【分析】

　　【評(píng)注】

　　16.(99全國(guó)競(jìng)賽)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。

　　證明：連結(jié)BD交AC于H。對(duì)△BCD用塞瓦定理，可得 因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，由角平分線定理，

　　可得 ，故 。

　　過(guò)C作AB的平行線交AG的延長(zhǎng)線于I，過(guò)C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng)線于J。

　　則 ，

　　所以 ，從而CI=CJ。

　　又因?yàn)镃I//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。

　　因此，△ACI≌△ACJ，從而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。

　　已知AB=AD，BC=DC，AC與BD交于O，過(guò)O的任意兩條直線EF和GH與四邊形ABCD的四邊交于E、F、G、H。連結(jié)GF、EH，分別交BD于M、N。求證：OM=ON。(5屆CMO)

　　證明：作△EOH △E’OH‘，則只需證E’、M、H‘共線，即E’H‘、BO、GF三線共點(diǎn)。

　　記∠BOG=α，∠GOE’=β。連結(jié)E‘F交BO于K。只需證 =1(Ceva逆定理)。

　　= = =1

　　注：箏形：一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形。

　　對(duì)應(yīng)于99聯(lián)賽2：∠E’OB=∠FOB，且E‘H’、GF、BO三線共點(diǎn)。求證：∠GOB=∠H‘OB。

　　事實(shí)上，上述條件是充要條件，且M在OB延長(zhǎng)線上時(shí)結(jié)論仍然成立。

　　證明方法為：同一法。

　　蝴蝶定理：P是⊙O的弦AB的中點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)引⊙O的兩弦CD、EF，連結(jié)DE交AB于M，連結(jié)CF交AB于N。求證：MP=NP。

　　【分析】設(shè)GH為過(guò)P的直徑，F(xiàn) F’F，顯然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PF PF‘，PA PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。

　　又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB�！唷螰’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’

　　=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四點(diǎn)共圓�！唷螾F’M=∠PDE=∠PFN。

　　∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。

　　【評(píng)注】一般結(jié)論為：已知半徑為R的⊙O內(nèi)一弦AB上的一點(diǎn)P，過(guò)P作兩條相交弦CD、EF，連CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中點(diǎn)的距離為a，則 。(解析法證明：利用二次曲線系知識(shí))