數(shù)學競賽訓練題二

　　一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

　　1.已知數(shù)列{an}滿足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n項之和為Sn。則滿足不等式|Sn-n-6|< 的最小整數(shù)n是( )

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　2.設O是正三棱錐P-ABC底面三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則和式 ( )

　　A.有最大值而無最小值 B.有最小值而無最大值

　　C.既有最大值又有最小值，兩者不等 D.是一個與面QPS無關的常數(shù)

　　3.給定數(shù)列{xn}，x1=1，且xn+1= ，則 =( )

　　A.1 B.-1 C.2+ D.-2+ 4.已知 =(cos π, sin π), , ，若△OAB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則△OAB的面積等于( )

　　A.1 B. C.2 D. 5.過橢圓C： 上任一點P，作橢圓C的右準線的垂線PH(H為垂足)，延長PH到點Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。當點P在橢圓C上運動時，點Q的軌跡的離心率的取值范圍為( )

　　A. B. C. D. 6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，則△ABC( )

　　A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形

　　C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

　　二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)

　　7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是_________.

　　8.如果：(1)a, b, c, d都屬于{1, 2, 3, 4}

　　(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

　　(3)a是a, b, c, d中的最小數(shù)

　　那么，可以組成的不同的四位數(shù)abcd的個數(shù)是________.

　　9.設n是正整數(shù)，集合M={1，2，…，2n}.求最小的正整數(shù)k，使得對于M的任何一個k元子集，其中必有4個互不相同的元素之和等于

　　10.若對|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，則t的取值范圍是_______________.

　　11.我們注意到6!=8×9×10，試求能使n!表示成(n-3)個連續(xù)自然三數(shù)之積的最大正整數(shù)n為__________.

　　12.對每一實數(shù)對(x, y)，函數(shù)f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數(shù)a=__________.

　　三、解答題(每小題20分，共60分)

　　13.已知a, b, c∈R+，且滿足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　14.已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線 的距離為2，Q是 上一動點，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交 于M、N兩點，對于任意直徑MN，平面上恒有一定點A，使得∠MAN為定值。求∠MAN的度數(shù)。

　　15.已知a>0，函數(shù)f(x)=ax-bx2,

　　(1)當b>0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1，證明：a≤2 ;

　　(2)當b>1時，證明：對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2 ;