類型：學(xué)習(xí)教育
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問答題【2015年真題】敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡(jiǎn)述拉格朗日中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。
參考答案：
如果函數(shù)f(x)滿足： (1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)； (2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)； 則存在ξε(a，b)，使
�！ ∽C明：已知f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)， 構(gòu)造輔助函數(shù)
驗(yàn)證可得g(a)=g(b)=0 又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且
根據(jù)羅爾定理可知在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使得g'(ξ)=0 即
由此可得
定理證畢�！ ±窭嗜罩兄刀ɡ碓谖⒎e分學(xué)中是一個(gè)重要的理論基礎(chǔ)，是應(yīng)用數(shù)學(xué)研究函數(shù)在區(qū)間上整體形態(tài)的有力工具。拉格朗日中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，如利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的某些性質(zhì)、證明不等式和方程根的存在性、描繪函數(shù)的圖象、解決極值、最值等等。
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