類型：學(xué)習(xí)教育
題目總量：200萬(wàn)+
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問(wèn)答題羅爾定理，設(shè)函數(shù)f（x）滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f’（ξ）=0。證明這個(gè)定理并說(shuō)明其幾何意義。
參考答案：因f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，所以在[a，b]上一定可以取到最大值M和最小值m。 （1）若M=m，則f（x）在[a，b]上是常數(shù)f（x）=M，x∈[a，b]。從而f（x）=0，因此，任取ξ∈（a，b）都有f（ξ）=0。
（2）若M≠m，則M，m中至少有一個(gè)不等于f（a），不妨設(shè)f（a）≠M(fèi)。因此，函數(shù)f（x）在內(nèi)（a，b）某一點(diǎn)ξ處取到最大值M。我們來(lái)證f（ξ）=0。
由于f（x）在ξ處取最大值，所以不論△x為正或?yàn)樨?fù)，總有f（ξ+△x）-f（ξ）≤0。當(dāng)△x>0時(shí)，
≤0，
。 同理，當(dāng)△x<0時(shí)，
根據(jù)題意，f（x）在ξ點(diǎn)處可導(dǎo)，所以
定理得證。 幾何意義：設(shè)y=f（x）是一條連續(xù)光滑的曲線，并且在點(diǎn)A，B處的縱坐標(biāo)相等，即f（a）=f（b），如圖，那么我們?nèi)菀卓闯�，在弧AB上至少有一點(diǎn)C（ξ，f’（ξ）），曲線在C點(diǎn)有水平切線。
答案解析：
涉及考點(diǎn)
《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》（高級(jí)中學(xué)）
第一章 學(xué)科知識(shí)
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