類(lèi)型：學(xué)習(xí)教育
題目總量：200萬(wàn)+
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問(wèn)答題已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)ι：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線(xiàn)ι過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。
參考答案：
【解析】（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（a>b>0），由已知得： a+c=3,a-c=1，則a=2,c=l，那么b
=a-c=3，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
。（2）設(shè)A（x
，），B（x
,y），聯(lián)立
，得（3+4k）x+8mkx+4（m-3）=0, 故
又
。因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），則
，即
,
，則
，故
。解得：m=-2k，
，且均滿(mǎn)足
。當(dāng)m=-2k時(shí)，ι的方程為y=k（x-2），直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；當(dāng)
時(shí)，ι的方程為
，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)
，所以，直線(xiàn)ι過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為。
涉及考點(diǎn)
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第一部分、學(xué)科知識(shí)
第八章、高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)-解析幾何
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