類型：學(xué)習(xí)教育
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問答題“解三角形”是高中數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求學(xué)生“能通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題；能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題”。
（1）請設(shè)計一道三角形度量問題并求解；
（要求：同時用勾股定理和正弦定理解決的實際應(yīng)用題；體現(xiàn)出兩者的相通性。）
（2）給出正弦定理推導(dǎo)過程的教學(xué)設(shè)計，并說明設(shè)計意圖。
參考答案：（1）如圖，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行。由于船員的疏忽沒有測得CA的距離，如果船上有測角儀我們能否計算出AB的距離？ （1）請設(shè)計一道三角形度量問題并求解；
（要求：同時用勾股定理和正弦定理解決的實際應(yīng)用題；體現(xiàn)出兩者的相通性。）
（2）給出正弦定理推導(dǎo)過程的教學(xué)設(shè)計，并說明設(shè)計意圖。
答：利用測角儀可測得∠A，∠B，∠C的大小。
勾股定理解法：
如圖，過A作AD⊥BC交CB于點D，把△ABC分為兩個直角三角形。
在Rt△ACD中，sin∠ACB=
，∴AD=ACsin∠ACB=600sin∠ACB。 在Rt△ABD中，sin∠ABC=
，∴AB=
=
。 
正弦定理解法：
在△ABC中，由正弦定理
。 （2）首先通過特殊例子，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為60°，60°，60°，對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：1，那么對應(yīng)角的正弦值分別為
，引導(dǎo)學(xué)生觀察的關(guān)系
的關(guān)系。 在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為45°，45°，90°對應(yīng)的邊長a：b：c為1：1：
，那么對應(yīng)角的正弦值分別為
，
，1，引導(dǎo)學(xué)生觀察
的關(guān)系。 在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為30°，60°，90°對應(yīng)的邊長a：b：c為1：
：2，那么對應(yīng)角的正弦值分別為
，引導(dǎo)學(xué)生觀察
的關(guān)系。 [設(shè)計意圖]通過觀察猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思想意識，體會到數(shù)學(xué)的歸納和演繹推理的兩個側(cè)面。
驗證猜想：在任意的△ABC中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
。 [設(shè)計意圖]鼓勵學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過程，大膽拓展，主動投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展創(chuàng)造性思維。
三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，那么我們分情況來證明此關(guān)系式。
①直角三角形
由正弦函數(shù)的定義可直接得到
。 ②銳角三角形
設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，
作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ABD中，
③鈍角三角形
設(shè)∠ACB為鈍角，BC=a，CA=b，AB=c，
作AD⊥BC交BC的延長線于D，
在Rt△ABD中，
答案解析：
涉及考點
《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》（高級中學(xué)）
第四章 教學(xué)技能
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