類型：學(xué)習(xí)教育
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問答題請以“點到直線的距離”為課題，完成下列教學(xué)設(shè)計。
（1）教學(xué)目標；
（2）教學(xué)重點、難點；
（3）教學(xué)過程（只要求寫出新課導(dǎo)入和新知探究、鞏固、應(yīng)用等）及設(shè)計意圖。
參考答案：（1）教學(xué)目標 （1）教學(xué)目標；
（2）教學(xué)重點、難點；
（3）教學(xué)過程（只要求寫出新課導(dǎo)入和新知探究、鞏固、應(yīng)用等）及設(shè)計意圖。
①知識與技能目標：理解點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程；掌握點到直線的距離公式；掌握點到直線的距離公式的應(yīng)用。
②過程與方法目標：通過類比歸納的思想，由淺入深，自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同算法、思路，體會從特殊到一般，從具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法。
③情感態(tài)度與價值觀目標：體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)勤于思考、勇于探索的精神；學(xué)會用運動聯(lián)系觀點觀察事物，了解事物之間從一般到特殊、從特殊到一般的辯證關(guān)系，滲透辯證唯物主義認識論的思想。
（2）教學(xué)重、難點
①教學(xué)重點：點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路；點到直線的距離公式的應(yīng)用。
②教學(xué)難點：點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路和算法分析。
（3）教學(xué)過程如下：
一、新課導(dǎo)入
教師活動：通過多媒體展示學(xué)生熟知的地質(zhì)勘探、鐵軌寬度、人離高壓線的安全距離等生活圖片，創(chuàng)設(shè)情景，同時要學(xué)生說說現(xiàn)實生活中有哪些現(xiàn)象涉及點到直線的距離。
學(xué)生活動：直觀感受幾何要素“點到直線的距離”，有效調(diào)動學(xué)習(xí)興趣。
那么“應(yīng)該如何求點到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學(xué)進入下一環(huán)節(jié)。
二、新知探究
師生共同探討如何求點到直線的距離。
問題1：你有幾種方法求原點O（0，0）到直線x+y-2=0的距離？
學(xué)生活動：分析問題，找到解決該問題的方法，歸納起來主要有以下幾種方法：
方法①：利用兩點之間距離公式。
方法②：利用直角三角形的面積公式。
方法③：利用三角函數(shù)。
教師活動：將直線方程變得更一般，提出問題2。
問題2：如何求點O（0，0）到直線3x+4y-12=0的距離？
學(xué)生活動：學(xué)生在解決該問題的過程中比較幾種方法，不難發(fā)現(xiàn)用等面積法最簡單，優(yōu)勢最明顯。
[設(shè)計意圖]由于點和直線的一般性，所以公式的推導(dǎo)過程含有字母運算，比較抽象。為了引導(dǎo)學(xué)生自主探究，體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程。先補充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況做好鋪墊。
教師活動：在解決問題1，2的基礎(chǔ)上，將點和直線推廣到一般情況，進一步提出問題3。
問題3：如何求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離？同時提示學(xué)生在思考過程中注意遷移剛剛求解問題1，2的方法。
學(xué)生活動：發(fā)現(xiàn)利用兩點之間距離公式法可以直接遷移過來解決此問題。
教師活動：與學(xué)生一起探討用兩點之間距離公式法求解的算法思路，同時要學(xué)生回答該思路的算法流程。向?qū)W生強調(diào)利用定義法求解應(yīng)注意單獨討論A=0或者B=0的情況。
學(xué)生活動：探討用兩點間距離公式法求解的算法流程：
[設(shè)計意圖]鞏固練習(xí)了兩點之間的距離公式的應(yīng)用，雖然計算量較大，但方法、思路比較直接，學(xué)生容易理解。
教師活動：還有沒有其他的方法解決此問題呢？利用幾何畫板與學(xué)生共同探討解決此問題的其他方法直角三角形等面積的方法。
學(xué)生活動：在老師的引導(dǎo)下，通過類比聯(lián)想找到如何構(gòu)造Rt△來推導(dǎo)公式。
教師活動：找學(xué)生回答用直角三角形等面積法推導(dǎo)公式的算法思路，同時要求學(xué)生結(jié)合課本自己推導(dǎo)公式。
學(xué)生活動：分析用直角三角形等面積法推導(dǎo)公式的思路推導(dǎo)得出點到直線的距離公式即點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式。
其中A，B不同時為0的距離
。 教師活動：在學(xué)生通過多種方法推導(dǎo)得出公式后，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)公式的形式特點，記憶公式。同時強調(diào)：當(dāng)A=0或B=0時，公式仍然適用，也可以結(jié)合圖像直接求出結(jié)論。
[設(shè)計意圖]讓學(xué)生參與到公式的形成過程中，加深對點到直線的距離公式的理解，方便記憶與應(yīng)用。
三、應(yīng)用提高
在三個例題的教學(xué)中，均由學(xué)生自主完成，然后教師點評。
例1.求點P0（-1，2）到下列直線的距離：
（1）2x-y-10=0，
（2）3y=x+7，
（3）y-2=4（x-1）。
例2.已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面積。
例3.求平行線2x-7y+8=0到2x-7y-6=0距離。
[設(shè)計意圖]讓學(xué)生在求解過程中熟悉公式，在強化訓(xùn)練中掌握公式的應(yīng)用。
四、鞏固小結(jié)
教師活動：向?qū)W生提出問題，調(diào)動學(xué)生積極參加梳理知識這一過程。
1.在距離公式的推導(dǎo)過程中體現(xiàn)了哪些算法思路？
2.點到直線的距離公式是什么？
3.點到直線的距離公式的應(yīng)用應(yīng)注意些什么？
學(xué)生活動：
1.方法①利用兩點間的距離公式；方法②利用直角三角形的面積公式；方法③利用三角函數(shù)。
2.點到直線的距離公式，點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離。其中A，B不同時為0的距離d=
。 3.A=0或B=0時，公式仍然適用，要將直線方程先化為一般形式。
[設(shè)計意圖]學(xué)生在教師的引導(dǎo)下梳理本節(jié)知識點，加深對公式的形式過程及應(yīng)用的理解掌握。
答案解析：
涉及考點
《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》（高級中學(xué)）
第四章 教學(xué)技能
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