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《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)》第八章第一節(jié)

來(lái)源：焚題庫(kù) [2020-05-12] 【大中小】

類型：學(xué)習(xí)教育

題目總量：200萬(wàn)+

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問(wèn)答題《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)》第八章第一節(jié)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”是用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)的。在此基礎(chǔ)上完成下列問(wèn)題：
（1）在學(xué)習(xí)本內(nèi)容前，學(xué)生已具備了哪些相關(guān)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？
（2）寫出本內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)；
（3）設(shè)計(jì)本內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程。

參考答案：（1）解析幾何是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它溝通了數(shù)學(xué)中數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對(duì)象之間的聯(lián)系。在之前的學(xué)習(xí)中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問(wèn)題的主要方法，并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形。在第八章中，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。之前學(xué)生已經(jīng)具備了觀察、操作、討論等教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；分類活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；抽象、歸納的經(jīng)驗(yàn)。
（2）教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，坐標(biāo)法的基本思想。
難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)。
（3）教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識(shí)橢圓
材料：對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí)，通過(guò)演示課前準(zhǔn)備的生活中有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片，讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)橢圓。
引入課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。
（二）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，親身體會(huì)
教師演示，引出研究思路。
思考：在上一章圓的學(xué)習(xí)中我們知道：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓。那么，到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡又是什么呢？（學(xué)生分組試驗(yàn)）
試驗(yàn)一：用事先準(zhǔn)備好的繩子，把它的兩端都固定在同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫出的軌跡是一個(gè)什么圖形？
提問(wèn)1：在整個(gè)過(guò)程中什么不變？
提問(wèn)2：筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足什么幾何條件？
試驗(yàn)二：如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖（M），畫出的又是什么圖形？（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）
分析實(shí)驗(yàn)，得出規(guī)律。
提問(wèn)1：在畫出一個(gè)橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？
提問(wèn)2：在畫橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？
提問(wèn)3：在畫橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？
提問(wèn)4：改變繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離的大小，軌跡又是什么？
學(xué)生總結(jié)規(guī)律：
|MF₁|+|MF₂|>|F₁F₂|軌跡為橢圓；
|MF₁|+|MF₂|=|F₁F₂|軌跡為線段；
|MF₁|+|MF₂|<|F₁F₂|軌跡不存在。
（三）總結(jié)歸納，形成概念
定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和等于常數(shù)（大于|F₁F₂|）的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓。
提問(wèn)：橢圓定義還可以用集合語(yǔ)言如何表示？
（邊學(xué)邊用，深化理解定義）
例題：用定義判斷下列動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓？
（1）到F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。
（2）到F₁（0，-2）、F₂（0，2）的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。
（3）到F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。
1.復(fù)習(xí)求曲線的方程的基本步驟：
（1）建系；（2）設(shè)點(diǎn)；（3）列式；（4）化簡(jiǎn)。（由學(xué)生回答，不正確的教師給予糾正）
2.如何選取坐標(biāo)系？
教師分析橢圓，學(xué)生觀察橢圓的幾何特征（對(duì)稱性），如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔？
學(xué)生討論，經(jīng)過(guò)比較確定方案：把F₁，F(xiàn)₂建在x軸上，以F₁F₂的中點(diǎn)為原點(diǎn)，或者把F₁，F(xiàn)₂建在y軸上，以F₁F₂的中點(diǎn)為原點(diǎn)。
3推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程
選取建系方法，讓學(xué)生動(dòng)手，嘗試推導(dǎo)。
（請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)同時(shí)演示兩種建系方法并推導(dǎo)方程）
例如：以過(guò)F₁，F(xiàn)₂的直線為x軸，線段F₁F₂的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|F₁F₂|=2c（c>0），點(diǎn)M（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，則P={M‖MF₁|+|MF₂|=2a}（稱此式為幾何條件），得v（x=c）+y2+V（x+c）+y2=2a（實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化）。
（想一想：下面怎樣化簡(jiǎn)？）
（1）教師為突破難點(diǎn)，進(jìn)行引導(dǎo)設(shè)問(wèn)：
我們?cè)趺椿?jiǎn)帶根式的式子？對(duì)于本式是直接平方好，還是整理后再平方好呢？
化簡(jiǎn)，得（a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²）
（2）b的引入。
由橢圓的定義可知，2a>2c，：a²-c²>0。
讓點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸正半軸上（如圖），由學(xué)生觀察圖形直觀獲得a，c的幾何意義，進(jìn)而自然引進(jìn)b，此時(shí)設(shè)b²=a²-c²，于是得b²x²+a²y²=a²b²，兩邊同時(shí)除以a²b²，得到方程是：

（稱為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）。
同理，建立焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.相互比較，深化理解兩種標(biāo)準(zhǔn)方程。
學(xué)生討論：如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？

得出結(jié)論：橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定（焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上）。
5.歸納概括，掌握特征。
（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式：它們都是二元二次方程，左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1。
（2）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系：b²=a²-c²（a>b>0）。
（3）橢圓焦點(diǎn)的位置由標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定。
（四）嘗試應(yīng)用，范例教學(xué)
例1.下列哪些是橢圓的方程，如果是，判斷它的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？并指明a，b，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。

例2.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0）、（4，0），橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10。
變式一：將上題焦點(diǎn)改為（0，-4）、（0，4），結(jié)果如何？
變式二：將上題改為兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為8，橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和等于10，結(jié)果如何？
例3.寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-2）、（0，2），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)