類型：學(xué)習(xí)教育
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問答題
設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，其中函數(shù)f(x)，g(x)在(-∞，+∞)內(nèi)滿足以下條件： f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)，且f(0)＝0，f(x)+g(x)＝2e
。
(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；
(2)求出F(x)的表達式。
參考答案：
題目要求F(x)所滿足的微分方程，而微分方程中含有其導(dǎo)函數(shù)，自然想到對F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程即可。
(1)由F(x)＝f(x)g(x)，有 F′(x)＝f′(x)g(x)+f(x)g′(x)＝g
(x)+f(x) [f(x)g(x)]-2f(x)g(x)＝(2e
)-2F(x) 可見F(x)所滿足的一階微分方程為 F′(x)+2F(x)＝4e
相應(yīng)的初始條件為F(0)＝f(0)g(0)＝0
(2)由題(1)得到F(x)所滿足的一階微分方程，求F(x)的表達式只需解一階微分方程，又一階線性非齊次微分方程
的通解為 
將F(0)代入上式，得C＝-1 所以F(x)＝e-e
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