參考答案：

8．剛度與長(zhǎng)細(xì)比 (1)剛度的概念在《工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基本術(shù)語(yǔ)》GBJ132-90中，對(duì)剛度(stiffness;rigidity)的解釋為"結(jié)構(gòu)或構(gòu)件抵抗單位變形的能力"�！惰F路橋涵混凝土和預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》TB10002.3-2005對(duì)這一術(shù)語(yǔ)解釋為"結(jié)構(gòu)或構(gòu)件抵抗變形的能力"，沒(méi)有"單位"兩個(gè)字。在《DictionaryofEngineering》(SecondEdition，McGraw-Hill)-書(shū)中，對(duì)stiffness的解釋為"Theratioofasteadyforceactingonadeformableelasticmediumtotheresul-tingdisplacement"。通常，我們把"剛度"說(shuō)成是"構(gòu)件發(fā)生單位位移所需要的外力值"。于是，"抗彎剛度"是指EI，因?yàn)榻孛姘l(fā)生單位轉(zhuǎn)角所需要的彎矩值為EI；EA則是抗拉剛度。 (2)長(zhǎng)細(xì)比的概念在《工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基本術(shù)語(yǔ)》GBJ132-90中，對(duì)長(zhǎng)細(xì)比(slendernessratio)的解釋為"構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度與其截面回轉(zhuǎn)半徑的比值"。在鋼結(jié)構(gòu)中，軸心受力構(gòu)件、拉彎構(gòu)件與壓彎構(gòu)件的剛度用長(zhǎng)細(xì)比表示，受彎構(gòu)件的剛度用撓度（或者說(shuō)撓跨比）表示。邏輯上講，壓彎構(gòu)件作為軸心受力構(gòu)件與受彎構(gòu)件中間的一種情況，在剛度的表達(dá)上似乎應(yīng)該有一個(gè)"過(guò)渡"。筆者認(rèn)為，實(shí)際的壓彎構(gòu)件更多地表現(xiàn)為框架柱，以承受軸力為主，故規(guī)范規(guī)定其剛度按軸心受力構(gòu)件考慮。有文獻(xiàn)指出，當(dāng)壓彎構(gòu)件承受的彎矩值較大時(shí)，也應(yīng)對(duì)其進(jìn)行撓度驗(yàn)算。但何時(shí)才算"較大"，并沒(méi)有明確。構(gòu)件的長(zhǎng)細(xì)比應(yīng)不超過(guò)規(guī)范規(guī)定的限值。受壓構(gòu)件的長(zhǎng)細(xì)比要求比受拉構(gòu)件嚴(yán)格。構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度ι=μι，計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ與構(gòu)件兩端的約束條件有關(guān)。截面回轉(zhuǎn)半徑，由于慣性矩I對(duì)截面不同的軸會(huì)有不同的值，因此，通常應(yīng)對(duì)兩個(gè)主軸(χ軸和y軸)取值。計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度與回轉(zhuǎn)半徑要對(duì)應(yīng)，即ι與i、ι與i，下角標(biāo)χ、y分別表示繞χ軸和y軸。 2．構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度的確定對(duì)于受拉構(gòu)件，其計(jì)算長(zhǎng)度，通常取為其幾何長(zhǎng)度。對(duì)于受壓構(gòu)件，則分為三種情況： (1)獨(dú)立的受壓構(gòu)件獨(dú)立柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ可以由理論分析得到（具體推導(dǎo)過(guò)程可參見(jiàn)《材料力學(xué)》教材），如表3-8-1所示�？紤]到理論上的約束條件在現(xiàn)實(shí)中難以完全實(shí)現(xiàn)，美國(guó)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定研究委員會(huì)(SSRC，即StructualStabilityResearchCouncil)給出了可用于實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)采用的值，這就是表3-8-1中給出的建議值。該建議值亦可見(jiàn)于美國(guó)鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范SpecificationforStruturalSteelBuildings-AllowableStressDesignandPlasticDesign(通常簡(jiǎn)稱為ASD89)。 (2)桁架中的桿件規(guī)范表5.3.1給出了桁架弦桿和單系腹桿的計(jì)算長(zhǎng)度ι，今錄于此，見(jiàn)下面的表3-8-2。 對(duì)于該表，需要說(shuō)明的是： ①規(guī)范5.3.1條中，"用節(jié)點(diǎn)板與弦桿連接"并不是解釋"單系腹桿"的。所謂"單系腹桿"，是指該腹桿一端為上弦節(jié)點(diǎn)，另一端為下弦節(jié)點(diǎn)，中間沒(méi)有再分。規(guī)范5.3.1條的本意是："對(duì)于桁架弦桿和單系腹桿（當(dāng)腹桿用節(jié)點(diǎn)板與弦桿連接時(shí)），計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比所用的計(jì)算長(zhǎng)度按表5.3.1確定"。 ②對(duì)于單角鋼腹桿，由于其截面主軸(關(guān)于"截面主軸"的概念，詳見(jiàn)本書(shū)專題聚焦3.1)與桁架平面斜交，故按斜截面考慮彎曲屈曲，對(duì)應(yīng)的，應(yīng)按表中斜平面取計(jì)算長(zhǎng)度。 ③對(duì)于格構(gòu)式柱中的斜綴條，有觀點(diǎn)認(rèn)為，由于交會(huì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)的各桿件均受壓，所以，取計(jì)算長(zhǎng)度為桿件的幾何長(zhǎng)度。筆者認(rèn)為，在實(shí)際的設(shè)計(jì)中可以這樣考慮，但若按照規(guī)范條文取值，仍應(yīng)遵照表5.3.1。支持筆者觀點(diǎn)的文獻(xiàn)有：包頭鋼鐵設(shè)計(jì)研究總院《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與計(jì)算》（第2版）第368頁(yè)的算例；邱鶴年《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)禁忌及實(shí)例》第242頁(yè)的算例。規(guī)范5.3.1條還規(guī)定，當(dāng)桁架弦桿側(cè)向支承點(diǎn)之間的距離為節(jié)間長(zhǎng)度的2倍，且兩個(gè)節(jié)間的軸壓力不相等時(shí)(見(jiàn)圖3-8-1a)，取平面外計(jì)算長(zhǎng)度為 式中，N為較大壓力，N為較小壓力或拉力（以壓為正拉為負(fù)）。再分式腹桿體系中的受壓主斜桿(見(jiàn)圖3-8-1b)以及K形腹桿體系的豎桿(見(jiàn)圖3-8-1c)，在桁架平面外的計(jì)算長(zhǎng)度也采用上式計(jì)算（受拉主斜桿取為ι）；桁架平面內(nèi)的計(jì)算長(zhǎng)度取節(jié)點(diǎn)中心間距離。 (3)框架柱由于框架柱與橫梁等其他構(gòu)件在上、下節(jié)點(diǎn)處相連，因此，必須合理考慮與該柱相連的這些構(gòu)件的約束。同時(shí)，這里的μ還與框架是否側(cè)移有關(guān)。 ①框架的分類規(guī)范把框架分為強(qiáng)支撐框架、弱支撐框架和無(wú)支撐純框架。所謂無(wú)支撐純框架，就是框架的側(cè)移剛度完全依靠柱子本身的剛度和節(jié)點(diǎn)的剛性提供。無(wú)支撐純框架表現(xiàn)為有側(cè)移框架。對(duì)有支撐框架，依據(jù)抗側(cè)移剛度分為強(qiáng)支撐框架、弱支撐框架。當(dāng)滿足下式要求時(shí)，為強(qiáng)支撐框架，框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)按無(wú)側(cè)移框架柱確定。 S≥3(1.2∑N-∑N) 式中S-支撐構(gòu)件的抗側(cè)移剛度（產(chǎn)生單位側(cè)傾角的水平力）； ∑N、∑N-第i層層間所有框架柱用無(wú)側(cè)移框架和有側(cè)移框架計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)算得的軸壓桿穩(wěn)定承載力之和。 ②框架柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)框架雖然為空間結(jié)構(gòu)，但通常我們?nèi)∑矫婵蚣茏鳛橛?jì)算模型，不考慮空間作用。框架柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的計(jì)算，區(qū)分為框架平面內(nèi)和框架平面外。在框架平面內(nèi)，只考慮與柱直接相連的構(gòu)件的約束作用，如圖3-8-2中的柱，其計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ，與該柱上、下端相連橫梁線剛度之和及柱線剛度之和的比值K、K有關(guān)，即 由K、K再區(qū)分無(wú)側(cè)移框架和有側(cè)移框架，分別按照規(guī)范表D-1和表D-2查表得到計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，用于計(jì)算框架平面內(nèi)的計(jì)算長(zhǎng)度�？蚣苤�在框架平面外的計(jì)算長(zhǎng)度由支撐構(gòu)件的布置情況確定。支撐體系提供柱在平面外的支承點(diǎn)，這些支承點(diǎn)應(yīng)能阻止柱沿廠房縱向發(fā)生側(cè)移。例如，柱下端的支承點(diǎn)是基礎(chǔ)的表面和吊車(chē)梁的下翼緣處；柱上端的支承點(diǎn)是吊車(chē)梁的制動(dòng)梁和屋架下弦縱向水平支撐或托架的弦桿。關(guān)于規(guī)范表D-1和表D-2，有以下需要說(shuō)明：表D-1、表D-2中的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)是根據(jù)理論模型推導(dǎo)而來(lái)。這里所謂的"框架"(frame)是指梁與柱的連接為剛性節(jié)點(diǎn)的情況。以無(wú)側(cè)移框架為例，正常情況下，梁與柱的連接為剛性節(jié)點(diǎn)，梁兩端的轉(zhuǎn)角大小相等，方向相反。取出框架中的橫梁AD進(jìn)行研究，如圖3-8-3(a)所示，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)可列出其轉(zhuǎn)角彎矩方程為 式中I、ι-橫梁AD的截面慣性矩和長(zhǎng)度； θ-橫梁AD在A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角。 當(dāng)橫梁端部連接約束發(fā)生變化時(shí)，會(huì)影響到梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度（所謂轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，就是梁端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角所需要的彎矩值），這時(shí)，就需要對(duì)橫梁的線剛度加以修正。設(shè)修正系數(shù)為α，標(biāo)準(zhǔn)情況(圖3-8-3a)不需要修正，即α=1.0。圖3-8-3(b)中，橫梁的遠(yuǎn)端為固結(jié)（完全固定），轉(zhuǎn)角為零，于是，。與標(biāo)準(zhǔn)情況時(shí)比較，可知此時(shí)相當(dāng)于將橫梁線剛度乘以2再使用標(biāo)準(zhǔn)情況公式，故α=2.0；圖3-8-3(c)中，遠(yuǎn)端為鉸接，，此時(shí)應(yīng)取α=1.5。有側(cè)移框架的情況與此類似，只不過(guò)，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的梁與柱的連接為剛性節(jié)點(diǎn)情況，此時(shí)梁兩端的轉(zhuǎn)角大小相等，方向相同，于是有 這樣，遠(yuǎn)端為嵌固時(shí)，α=4/6=2/3；遠(yuǎn)端為鉸接時(shí)，α=3/6=0.5。 3．換算長(zhǎng)細(xì)比規(guī)范的2.1.16條，對(duì)換算長(zhǎng)細(xì)比(equivalentslendernessratio)的解釋為："在軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定計(jì)算中，按臨界力相等的原則，將格構(gòu)式構(gòu)件換算為實(shí)腹構(gòu)件進(jìn)行計(jì)算時(shí)所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)細(xì)比或?qū)�彎扭與扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)換算為彎曲失穩(wěn)時(shí)采用的長(zhǎng)細(xì)比"。換算長(zhǎng)細(xì)比在本質(zhì)上講是對(duì)名義長(zhǎng)細(xì)比（例如λ、λ）的放大，規(guī)范中有兩處具體體現(xiàn)：①單軸對(duì)稱截面繞對(duì)稱軸(y軸)失穩(wěn)時(shí)應(yīng)用λ代替λ；②格構(gòu)式軸心受壓柱繞虛軸(χ軸)失穩(wěn)時(shí)應(yīng)用λ代替λ。 (1)λ的計(jì)算截面為單軸對(duì)稱的構(gòu)件，繞對(duì)稱軸（y軸）的失穩(wěn)伴隨扭轉(zhuǎn)，為彎扭失穩(wěn)，承載力會(huì)降低。規(guī)范5.1.2條第2款規(guī)定應(yīng)λ代替λ，λ按照下式計(jì)算： λ的值來(lái)源于彈性穩(wěn)定分析，由解方程得到。計(jì)算e時(shí)要用到剪心位置，"剪心"的概念見(jiàn)本書(shū)專題聚焦3.1。由于該公式比較復(fù)雜，因此規(guī)范對(duì)常用的截面又規(guī)定了簡(jiǎn)化計(jì)算公式。 (2)λ的計(jì)算格構(gòu)式構(gòu)件繞虛軸（通常記作z軸）發(fā)生失穩(wěn)時(shí)，構(gòu)件因彎曲而導(dǎo)致有剪力產(chǎn)生，剪力由柔弱的綴條負(fù)擔(dān)，故產(chǎn)生較大的附加變形，由此導(dǎo)致承載力降低。規(guī)范的5.1.3詳細(xì)規(guī)定了λ的計(jì)算。對(duì)于雙肢組合構(gòu)件，換算長(zhǎng)細(xì)比λ按照下式計(jì)算當(dāng)綴件采用綴條時(shí)： 當(dāng)綴件采用綴板時(shí)： 使用以上公式時(shí)注意： ①對(duì)于圖3-8-4(a)，橫綴條不受力，其設(shè)置目的是為了減小分肢的計(jì)算長(zhǎng)度。 ②橫綴條不受力的情況，即圖3-8-4(a)，方可使用上式，對(duì)于圖3-8-4(b)，以上公式不適用。 ③A的取值，對(duì)于圖3-8-4(a)的情況，應(yīng)取為2倍的斜綴條截面積；對(duì)于圖3-8-4(c)的雙綴條體系，A取為4倍的斜綴條截面積。 (3)格構(gòu)式軸心受壓柱的算例為加深對(duì)格構(gòu)式軸心受壓柱的認(rèn)識(shí)，下面給出兩個(gè)算例加以說(shuō)明�！舅憷�1】某綴條式格構(gòu)柱，截面采用一對(duì)槽鋼，翼緣肢尖向內(nèi)；柱高6m，兩端鉸接，承受軸心壓力設(shè)計(jì)值N=1500kN，鋼材用0235鋼，焊條為E43系列。試選擇截面并設(shè)計(jì)綴條。解：依題意，有ι=ι=6m。 ①對(duì)實(shí)軸（y軸）計(jì)算，選擇截面設(shè)λ=70，按b類截面查表，得φ=0.751，于是所需截面面積 所需回轉(zhuǎn)半徑 試選2[28b，A=2×45.62=91.24cm，i=10.6cm，自重為716N／m，總重716×6=4296N，外加綴材及其柱頭、柱腳等構(gòu)造用鋼，柱重按10kN計(jì)算，從而N=1510kN。對(duì)實(shí)軸驗(yàn)算剛度和整體穩(wěn)定 ，剛度滿足要求由λ=56.6按照b類查表，得到φ=0.825，于是 繞y軸整體穩(wěn)定滿足要求。 ②對(duì)虛軸(x軸)計(jì)算，確定肢間距離規(guī)范8.1.2條規(guī)定，鋼結(jié)構(gòu)中受力構(gòu)件及其連接中，不宜采用截面小于L45×4的角鋼。今綴條采用L45×4，則A=2×3.49=6.98cm。由等穩(wěn)定原則λ=λ，可得 相應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑為 利用回轉(zhuǎn)半徑與截面輪廓尺寸的近似關(guān)系，可得，取b=26cm。查槽鋼截面特征表，可得到由此形成的截面如圖3-8-5所示。同時(shí)，可得槽鋼[28b對(duì)自身形心軸（圖3-8-5中1-1軸）的慣性矩與回轉(zhuǎn)半徑分別為I=242.1cm,i=2.3cm。 ③對(duì)所選柱截面進(jìn)行驗(yàn)算 a．截面特征 I=2×(242.1+45.62×10.982)=11484cm b．剛度 ，剛度滿足要求 c．繞虛軸(x軸)的整體穩(wěn)定性按A=57，b類截面查表，得到φ=0.823，于是 ，滿足要求 d．分肢穩(wěn)定性驗(yàn)算取斜綴條軸線與柱軸線的夾角a=45°，于是，分肢對(duì)1-1軸的計(jì)算長(zhǎng)度ι和長(zhǎng)細(xì)比λ分別為： 今λ=11.3<0.7λ=0.7×57=39.9，分肢穩(wěn)定性滿足要求。 ④綴條及其分肢連接的計(jì)算依據(jù)規(guī)范5.1.6條，軸心受壓柱的剪力為 一根綴條所受的內(nèi)力 斜綴條長(zhǎng)度ι=26/cos45°=36.8cm。前已選定綴條為L(zhǎng)45×4，查表可得該角鋼截面積A=3.49mm，最小回轉(zhuǎn)半徑i=0.89cm。于是，綴條的最大長(zhǎng)細(xì)比為： 按b類截面查表，得φ=0.894，由于是單角鋼單面連接，規(guī)范3.4.2條規(guī)定，計(jì)算構(gòu)件穩(wěn)定時(shí)的強(qiáng)度折減系數(shù)為γ=0.6+0,0015×41.3=0.662，則 可見(jiàn)，所選綴條截面滿足受力要求。綴條與分肢間的連接焊縫采用三面圍焊，取h=4mm，可以滿足最大、最小焊腳尺寸的構(gòu)造要求。所需圍焊縫的計(jì)算長(zhǎng)度為 數(shù)值較小，按構(gòu)造滿焊即可。對(duì)于本題，還需要說(shuō)明兩點(diǎn)： ①在綴條的計(jì)算中，取ι=ι適用于綴條與柱肢直接相連的情況。若綴條與柱肢采用節(jié)點(diǎn)板連接，則依據(jù)規(guī)范的5.3.1條，綴條在其斜平面內(nèi)計(jì)算長(zhǎng)度應(yīng)取為ι=0.9ι。計(jì)算長(zhǎng)細(xì)比所需要的回轉(zhuǎn)半徑均取截面的最小回轉(zhuǎn)半徑i。 ②在確定分肢間距時(shí)，也可以直接用移軸公式得出。試演如下：將兩分肢軸線間的距離記作a，一個(gè)分肢對(duì)1-1軸的慣性矩、回轉(zhuǎn)半徑分別記作I、i，兩個(gè)分肢組成的全部截面面積為A，則根據(jù)移軸公式，有 兩邊同除以A，則 即 【算例2】將【算例1】中綴條受壓柱改為綴板受壓柱，其他條件不變，重新設(shè)計(jì)。解：①同上例，按繞實(shí)軸（y軸）初步選定截面為2[28b。 ②按虛軸(χ軸)計(jì)算，確定肢間距離。依據(jù)規(guī)范5.1.4條，分肢長(zhǎng)細(xì)比應(yīng)滿足λ≤0.5A，今暫取λ=λ，則λ=0.5×56.6=28.3，取為28。 利用回轉(zhuǎn)半徑與截面輪廓尺寸的近似關(guān)系，可得b=i／0.44=12.2/0.44=27.7cm，取b=28cm。形成的截面如圖3-8-6所示。 ③對(duì)所選柱截面驗(yàn)算。 a．截面特征 I=2×(242.1+45.62×11.982)=13535cm λ=ι／i=600／12.2=49.2 b．剛度和整體穩(wěn)定性驗(yàn)算 對(duì)y軸按b類截面查表，得φ=0.825。 c．分肢穩(wěn)定性驗(yàn)算 λ={λ，λ，50} 今，滿足要求。 ④綴板設(shè)計(jì)。綴板所用的鋼板，通常按照構(gòu)造要求確定，其沿柱軸向方向的高度，厚度，a為分肢軸線間距離。今a=239.6mm，據(jù)此可得到綴板高度不小于160mm，厚度不小于6mm，取h×t=180mm×8mm。今綴板采用焊接，于是，綴板間凈距ι=iλ=23×28=644mm，采用650mm，相鄰綴板中心距ι=ι+hp=650+180=830mm。依據(jù)規(guī)范8.4.1條，綴板柱中，同一截面處綴板的線剛度之和不得小于柱較大分肢線剛度的6倍。今綴板線剛度之和與分肢線剛度的比值為： ⑤綴板與分肢連接焊縫的計(jì)算。算例1已經(jīng)求得柱的剪力V=23.1kN，這樣，作用于一個(gè)綴板系的剪力為V=V/2=11.55kN。綴板與分肢連接處的內(nèi)力按照下式計(jì)算：剪力 彎矩 綴板與分肢采用三面圍焊，焊縫群承受扭矩作用。今計(jì)算時(shí)偏于安全僅考慮豎向焊縫，即取其計(jì)算長(zhǎng)度ι=h=180mm，這時(shí)，可按照焊縫受彎考慮。在剪力T與彎矩M的共同作用下，該連接角焊縫的強(qiáng)度應(yīng)滿足下式要求： 據(jù)此可得到所需焊接尺寸為 又根據(jù)構(gòu)造要求，有，h≤8-(1～2)=6～7mm，取h=7mm，可以滿足計(jì)算要求和構(gòu)造要求。

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