類(lèi)型：學(xué)習(xí)教育
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問(wèn)答題【2014年真題】設(shè)三維空間中橢圓
(1)證明
的中心為原點(diǎn)，并求的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。 (2)證明：任給一個(gè)橢圓，存在參數(shù)R和k，使得與給定橢圓全等。
(1)證明的中心為原點(diǎn)，并求的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度。 (2)證明：任給一個(gè)橢圓，存在參數(shù)R和k，使得與給定橢圓全等。參考答案：
證明：(1)由已知得，橢圓
為圓柱x
+y＝R與z＝kx平面相截所得，因?yàn)閳A柱x+y＝R與的中心為原點(diǎn)，z＝kx平面的中心為原點(diǎn)。故的中心為原點(diǎn)。橢圓與直線(xiàn)
的交點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)(R,0,kR)，(-R，0，-kR)，因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸與短軸相互垂直，則另兩個(gè)端點(diǎn)為橢圓與直線(xiàn)
的交點(diǎn)
。當(dāng)|k|≥1時(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
，短軸長(zhǎng)為
，當(dāng)|k|＜1時(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為
，短軸長(zhǎng)為
。 (2)在平面z＝kx上以直線(xiàn)
為橫軸m，以直線(xiàn)
為縱軸n建立直角坐標(biāo)系，可得的平面方程為
。其中長(zhǎng)短軸之比
與R無(wú)關(guān)，故對(duì)任意給定的一個(gè)橢圓其兩軸長(zhǎng)分別為a,b均可找到參數(shù)k，R使得a＝R(1+k),
其中
。即證。
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