類型：學(xué)習(xí)教育
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問答題設(shè)函數(shù)f（x）在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且
。
（1）證明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；
（2）證明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。
參考答案：（1）因?yàn)?IMG src="https://tiku.examw.com/tiku/showPhoto?imageURL=importItems/63891618a7644ef78f1fe14291f8fbc8/images/word/media/image2.png">，又因?yàn)閒（x）在[0，2]上連續(xù)，所以由積分中值定理得，至少有一點(diǎn)η∈（0，2），使得。 （1）證明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；
（2）證明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。
即2f（0）=2f（η），所以存在η∈（0，2），使得f（η）=f（0）。 （2）因?yàn)閒（2）+f（3）=2f（0），即
，又因?yàn)閒（x）在[2，3]上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)η1∈（2，3）使得f（η1）=f（0）。 因?yàn)閒（x）在[0，2]上連續(xù)，在[0，2]上可導(dǎo)，且f（0）=f（2），所以由羅爾中值定理知，存在ξ1∈（0，2），使f（ξ1）=0。
又因?yàn)閒（x）在[2，η1]上連續(xù)，在（2，η1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（2）=f（0）=f（η1），所以由羅爾中值定理知，存在ξ2∈（2，η1），使f’（ξ2）=0。
又因?yàn)閒（x）在[ξ1，ξ2]上二階可導(dǎo)，且f’（ξ1）=f’（ξ2）=0，所以由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)ξ∈（ξ1，ξ2）
（0，3），使得
。 答案解析：
涉及考點(diǎn)
《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》（高級(jí)中學(xué)）
第一章 學(xué)科知識(shí)
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