整數(shù)(Integer)：像-2，-1，0，1，2這樣的數(shù)稱為整數(shù)。(整數(shù)是表示物體個(gè)數(shù)的數(shù)，0表示有0個(gè)物體)整數(shù)是人類能夠掌握的最基本的數(shù)學(xué)工具。整數(shù)的全體構(gòu)成整數(shù)集，整數(shù)集合是一個(gè)數(shù)環(huán)。在整數(shù)系中，自然數(shù)為0和正整數(shù)的統(tǒng)稱，稱0為零，稱-1、-2、-3、…、-n、… (n為整數(shù))為負(fù)整數(shù)。正整數(shù)、零與負(fù)整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系。 一個(gè)給定的整數(shù)n可以是負(fù)數(shù)(n∈Z-)，非負(fù)數(shù)(n∈Z*)，零(n=0)或正數(shù)(n∈Z+).

　　我們以0為界限，將整數(shù)分為三大類

　　1.正整數(shù)，即大于0的整數(shù)如，1，2，3······直到n。

　　2.0 ，既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的數(shù)。

　　3.負(fù)整數(shù)，即小于0的整數(shù)如，-1，-2，-3······直到-n。

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　　正整數(shù)

　　是從古代以來人類計(jì)數(shù)的工具�？梢哉f，從“一頭牛，兩頭�！被蚴恰拔鍌�(gè)人，六個(gè)人”抽象化成正整數(shù)的過程是相當(dāng)自然的。事實(shí)，,我們有時(shí)候把正整數(shù)叫做自然數(shù)。

　　零

　　不僅表示“沒有”(“無”)，更是表示空位的符號(hào)。中國古代用算籌計(jì)算數(shù)并進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，空位不放算籌，雖無空 位記號(hào)，但仍能為位值記數(shù)與四則運(yùn)算創(chuàng)造良好的條件。印度-阿拉伯命數(shù)法中的零(Zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

　　負(fù)整數(shù)

　　中國最早引進(jìn)了負(fù)數(shù)�！毒耪滤阈g(shù).方程》中論述的“正負(fù)數(shù)”，就是整數(shù)的加減法。減法的需要也促進(jìn)了負(fù)整數(shù)的引入。減法運(yùn)算可看作求解方程a - b=c，如果a、b是自然數(shù)，則所給方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴(kuò)大為整數(shù)系。

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　　代數(shù)性質(zhì)

　　下表給出任何整數(shù)a，b和c的加法和乘法的基本性質(zhì)。

　　性質(zhì) 加法 乘法

　　封閉性 a + b 是整數(shù) a × b 是整數(shù)

　　結(jié)合律 a + (b + c) = (a + b) + c 是整數(shù) a × (b × c) = (a × b) × c 是整數(shù)

　　交換律 a + b = b + a a × b = b × a

　　存在單位元 a + 0 = a a × 1 = a

　　存在逆元 a + (-a) = 0 在整數(shù)集中，只有1或 -1關(guān)于乘法存在整數(shù)逆元

　　分配律 a × (b + c) = a × b+ a × c

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　　整數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

　　整數(shù)的整除性

　　整除的概念及其性質(zhì)

　　如果不加特殊說明，我們所涉及的數(shù)都是整數(shù)，所采用的字母也表示整數(shù)。

　　定義：設(shè)a,b是給定的數(shù)，b≠0，若存在整數(shù)c，使得a=bc,則稱b整除a，記作b|a，并稱b是a的一個(gè)約數(shù)(因子)，稱a是b的一個(gè)倍數(shù)，如果不存在上述c，則稱b不能整除a。

　　整數(shù)整除性的一些數(shù)碼特征(即常見結(jié)論)

　　(1)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字能被2(或5)整除，則這個(gè)數(shù)能被2(或5)整除，否則不能;

　　(2)一個(gè)整數(shù)的數(shù)碼之和能被3(或9)整除，則這個(gè)數(shù)能被3(或9)整除，否則不能;

　　(3)若一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)字能被4(或25)整除，則這個(gè)數(shù)能被4(或25)整除，否則不能;

　　(4)若一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)字能被8(或125)整除，則這個(gè)數(shù)能被8(或125)整除，否則不能;

　　(5)若一個(gè)整數(shù)的奇位上的數(shù)碼之和與偶位上的數(shù)碼之和的差是11的倍數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被11整除，否則不能。

　　整數(shù)的奇偶性

　　(1)奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù);即任意多個(gè)偶數(shù)的和、差、積仍為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差仍為奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和、差為偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)的和為奇數(shù)，和為偶數(shù);

　　(2)奇數(shù)的平方都可以表示成(8m+1)的形式，偶數(shù)的平方可以表示為8m或(8m+4)的形式;

　　(3)若有限個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則其中每個(gè)整數(shù)都是奇數(shù);若有限個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù);兩個(gè)整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性;偶數(shù)的平方根若是整數(shù)，它必為偶數(shù)。

　　完全平方數(shù)

　　完全平方數(shù)及其性質(zhì)

　　能表示為某整數(shù)的平方的數(shù)稱為完全平方數(shù)，簡(jiǎn)稱平方數(shù)。平方數(shù)有以下性質(zhì)與結(jié)論：

　　(1)平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只可能是0,1，4,5，6,9;

　　(2)偶數(shù)的平方數(shù)是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方數(shù)被8除余1，即任何平方數(shù)被4除的余數(shù)只有可能是0或1;

　　(3)奇數(shù)平方的十位數(shù)字是偶數(shù);

　　(4)十位數(shù)字是奇數(shù)的平方數(shù)的個(gè)位數(shù)一定是6;

　　(5)不能被3整除的數(shù)的平方被3除余1，能被3整除的數(shù)的平方能被3整除。因而，平方數(shù)被9也合乎的余數(shù)為0,1，4,7，且此平方數(shù)的各位數(shù)字的和被9除的余數(shù)也只能是0,1，4,7;

　　(6)平方數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù);

　　(7)任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1，必定是一個(gè)平方數(shù)。

　　(8)設(shè)正整數(shù)a,b之積是一個(gè)正整數(shù)的k次方冪(k≥2)，若(a,b)=1，則a,b都是整數(shù)的k次方冪。一般地，設(shè)正整數(shù)a,b,c……之積是一個(gè)正整數(shù)的k次方冪(k≥2)，若a,b,c……兩兩互素，則a,b,c……都是正整數(shù)的k次方冪。