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　　利率的計(jì)算

　　一、利率概述

　　(一)利率的涵義

　　1.利率是利息率的簡稱，指借貸期間所形成的利息額與本金的比率，是借貸資本的價(jià)格。

　　2.利率的種類

　　二、單利與復(fù)利

　　利息的計(jì)算分單利與復(fù)利

　　(一)單利：是不論借款期限的長短，僅按本金計(jì)算利息，上期本金所產(chǎn)生的利息不記入下期計(jì)算利息，即利息不重復(fù)計(jì)算利息的計(jì)息方法。其本利和是：

　　S=P(1+r·n)

　　其中，S為本利和，P為本金，r為利率，n為存期;我國銀行存款的利息是按單利計(jì)算。

　　I=P·r·n 利息額與本金、利率、時(shí)間呈線性關(guān)系

　　例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……

　　則：I1=100·6%·1

　　I2=100·6%·2=12

　　I3=100·6%·3=18……

　　【例1·單選題】投資者用100萬元進(jìn)行為期5年的投資，年利率為5%，一年計(jì)息一次，按單利計(jì)算，則5年末投資者可得到的本息和為( )萬元。

　　A.110

　　B.120

　　C.125

　　D.135

　　【正確答案】C

　　【答案解析】本題考查單利計(jì)算本息和。100×(1+5%×5)=125萬元。

　　(二)復(fù)利：也稱利滾利，就是將上期利息并入本金并一并計(jì)算利息的一種方法。

　　1.一年付息一次(一年復(fù)利一次)

　　其本利和是：

　　S=P(1+r)n

　　其中，S為本利和，P表示本金，r表示利率，n表示時(shí)間。

　　I=S-P=P(1+r)n-P=P[(1+r)n-1]

　　例：P=100，r=6%(年利率)，n=1、2、3(年)……

　　I1=S1-P1=100(1+6%)-100=6

　　I2=S2-P2=100(1+6%)2-100=12.36>12

　　I3=S3-P3=100(1+6%)3-100=19.10>18……

　　I為利息額。利息額與利率、時(shí)間呈非線性關(guān)系(只與本金呈線性關(guān)系)

　　期值：在未來某一時(shí)點(diǎn)上的本利和，也稱為“終值”。其計(jì)算式就是復(fù)利本利和的計(jì)算式。

　　單利終值：S=P(1+r·n)

　　復(fù)利終值：S=P(1+r)n

　　2.一年付息多次(一年復(fù)利多次)

　　例：假設(shè)100元的存款以6%的年利率每半年支付一次利息，也就是說6個(gè)月的收益是6%的一半，即3%。

　　6個(gè)月末的終值為：FV=100×(1+0.06/2)=103

　　年末的期值為：100×(1+0.06/2)×(1+0.06/2)=100×(1+0.06/2)2=106.09

　　說明：第二期比第一期的終值多0.09元，是因?yàn)閷?duì)第一期的3元的利息也計(jì)息的結(jié)果。如果一年中復(fù)利計(jì)算的次數(shù)增加的話，年末終值會(huì)越來越大。

　　【例2·單選題】某人在銀行存入10萬元，期限2年，年利率為6%，每半年支付一次利息，如果按復(fù)利計(jì)算，2年后的本利和是( )萬元。

　　A.11.20

　　B.11.26

　　C.10.26

　　D.10.23

　　【正確答案】B

　　【答案解析】本題考查年末期值計(jì)算公式FVn=P(1+r/m)nm。年利率是6%，每半年支付一次利息，那么2年的本利和就是10×(1+6%/2)4=11.26萬元。

　　(三)連續(xù)復(fù)利

　　(1)每年計(jì)息次數(shù)越多，終值越大

　　(2)隨計(jì)息間隔的縮短(計(jì)息次數(shù)的增加)，終值以遞減速度增加，最后等于連續(xù)復(fù)利的終值。

　　三、現(xiàn)值

　　現(xiàn)值，也稱在用價(jià)值，是現(xiàn)在和將來的一筆支付或支付流在今天的價(jià)值。

　　如果把未來某一時(shí)點(diǎn)上一定金額的貨幣看作是現(xiàn)在一定金額的本利和，那么現(xiàn)值就是按現(xiàn)行利率計(jì)算出的要取得這樣金額的本利和在眼下所必須具有的本金數(shù)。這個(gè)逆算出來的本金稱“現(xiàn)值”，也稱“貼現(xiàn)值”。

　　(一)系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值

　　假如我們有一系列的現(xiàn)金流，第一年末是100，第二年未是200，第三年末是200，第四年末是300，若折現(xiàn)率為8%，這一系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值可以通過每筆資金現(xiàn)值的加總得到。

　　第一年末收入的100元的現(xiàn)值：100/(1+8%)=92.59

　　第二年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)2=171.47

　　第三年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)3=158.77

　　第四年末收入的300元的現(xiàn)值：300/(1+8%)4=220.51

　　總現(xiàn)值：643.34

　　所以，一系列的現(xiàn)金流的現(xiàn)值公式：

　　Ai表示第i年末的現(xiàn)金流量(Ai相當(dāng)于FVi)，i=1,2,3…，n。

　　(二)連續(xù)復(fù)利下的現(xiàn)值

　　1.一年支付m次利息

　　假如一年之內(nèi)支付利息的次數(shù)為m次，則利息率為r/m，則此時(shí)的現(xiàn)值公式為：

　　PV= 即(2-5)式的逆運(yùn)算。式中An表示第n年末的現(xiàn)金流量(相當(dāng)于 )，m為年計(jì)息次數(shù)，r是貼現(xiàn)率。

　　例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，且一季計(jì)息一次，則現(xiàn)在值多少錢?

　　【正確答案】

　　2.連續(xù)計(jì)息的情形(連續(xù)復(fù)利)

　　如果式中m趨于∞，則(1+r/m)nm趨于ern，因此，如果連續(xù)復(fù)利，那么現(xiàn)值的計(jì)算公式為：

　　即(2-6)式的逆運(yùn)算

　　例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，連續(xù)復(fù)利，則現(xiàn)在值多少錢?

　　【正確答案】

　　現(xiàn)值變化規(guī)律：

　　(1)每年計(jì)息次數(shù)越多，現(xiàn)值越小;而每年計(jì)息次數(shù)越多，終值越大。

　　(2)隨計(jì)息間隔的縮短(計(jì)息次數(shù)的增加)，現(xiàn)值以遞減速度減小，最后等于連續(xù)復(fù)利的現(xiàn)值。