4.(2015·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x+x(1(x>0)，以點(diǎn)(n，f(n))為切點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線ln(n∈N*)，直線x=n+1與函數(shù)y=f(x)圖像及切線ln分別相交于An，Bn，記an=|AnBn|。

(1)求切線ln的方程及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn<1。

解　(1)對f(x)=x+x(1(x>0)求導(dǎo)，得f′(x)=1-x2(1，

則切線ln的方程為y-n(1=n2(1(x-n)，

即y=n2(1x+n(2。

易知Ann+1(1，Bnn2(n-1，

由an=|AnBn|知an=n2(n-1=n2(n+1)(1。

(2)證明：∵nan=n(n+1)(1=n(1-n+1(1，

∴Sn=a1+2a2+…+nan=1-2(1+2(1-3(1+…+n(1-n+1(1=1-n+1(1<1。

5.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)令bn=(-1)n-1anan+1(4n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。

解　(1)因?yàn)镾1=a1，S2=2a1+2(2×1×2=2a1+2，

S4=4a1+2(4×3×2=4a1+12，

由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12)，

解得a1=1，所以an=2n-1。

(2)bn=(-1)n-1anan+1(4n=(-1)n-1(2n-1)(2n+1)(4n

=(-1)n-12n+1(1。

當(dāng)n為偶數(shù)時，

Tn=3(1-5(1+…+2n-3(1+2n-1(1-2n+1(1=1-2n+1(1=2n+1(2n。

當(dāng)n為奇數(shù)時，

Tn=3(1-5(1+…-2n-3(1+2n-1(1+2n+1(1=1+2n+1(1=2n+1(2n+2。

所以Tn=，n為偶數(shù)。(2n或Tn=2n+1(2n+1+(-1)n-1

6.(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1-4an(1，其中n∈N*。

(1)設(shè)bn=2an-1(2，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)cn=n+1(4an，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn解　(1)∵bn+1-bn=2an+1-1(2-2an-1(2

=-1(1-2an-1(2

=2an-1(4an-2an-1(2=2(常數(shù))，

∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列。

∵a1=1，∴b1=2，

因此bn=2+(n-1)×2=2n，

由bn=2an-1(2得an=2n(n+1。

(2)由cn=n+1(4an，an=2n(n+1得cn=n(2，

∴cncn+2=n(n+2)(4=2n+2(1，

∴Tn=21-3(1+2(1-4(1+3(1-5(1+…+n(1-n+2(1

=2n+2(1<3，

依題意要使Tn即4(m(m+1)≥3，

解得m≥3或m≤-4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3。