一、選擇題

1.已知函數(shù)y=loga(x-1)+3(a>0，a≠1)所過定點的橫、縱坐標分別是等差數(shù)列{an}的第二項與第三項，若bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T10等于(　　)

A.　　　　　　 B.

C. D.

B　y=loga(x-1)+3恒過定點(2,3)，

即a2=2，a3=3，又{an}為等差數(shù)列，

an=n，bn=，

T10=1-=，故選B.]

2.已知數(shù)列{an}中，a1=-60，an+1=an+3，則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于(　　)

A.445 B.765

C.1 080 D.3 105

B　an+1=an+3，an+1-an=3，{an}是以-60為首項，3為公差的等差數(shù)列，

an=-60+3(n-1)=3n-63.

令an≤0，得n≤21，前20項都為負值.

|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.

Sn=n=×n，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765，故選B.]

3.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，{Sn+nan}為常數(shù)列，則an=(　　)

A. B.

C. D.

B　由題意知，Sn+nan=2，當n≥2時，(n+1)an=(n-1)an-1，

從而···…·=··…·，有an=，當n=1時上式成立，所以an=.故選B.]

4.(2016·湖北七校2月聯(lián)考)中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　　)

A.192里 B.96里

C.48里 D.24里

B　由題意，知每天所走路程形成以a1為首項，公比為的等比數(shù)列，則=378，解得a1=192，則a2=96，即第二天走了96里.故選B.]

二、填空題

5.(2016·山西四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n(nN*)，則S2 016=__________.

3×21 008-3　數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1·an=2n，

n=1時，a2=2，n≥2時，an·an-1=2n-1，÷②得=2，數(shù)列{an}的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，S2 016=+=3×21 008-3.]

6.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，則a1=__________，S5=__________.

1　121　an+1=2Sn+1，Sn+1-Sn=2Sn+1，

Sn+1=3Sn+1，Sn+1+=3，

數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，

=3.

又S2=4，S1=1，a1=1，

S5+=×34=×34=，

S5=121.]

三、解答題

7.(2016·太原二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)數(shù)列{bn}滿足bn=(log2a2n+1)×(log2a2n+3)，求數(shù)列的前n項和Tn.

解]　(1)，an，Sn成等差數(shù)列，2an=Sn+，1分

當n=1時，2a1=S1+，a1=，2分

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，=2，4分

數(shù)列{an}是首項為，公比為2的等比數(shù)列，an=2n-2(nN*).6分

(2)bn=log2a2n+1×log2a2n+3=log222n+1-2×log222n+3-2

=(2n-1)(2n+1)，8分

=×=，10分

Tn=

==.12分

8.已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，nN*)滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令cn=，求數(shù)列{cn}的通項公式;

(2)若bn=3n-1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

解]　(1)因為anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0(bn≠0，nN*)，

所以-=2，2分

即cn+1-cn=2.3分

又c1==1，

所以數(shù)列{cn}是以首項c1=1，公差d=2的等差數(shù)列，故cn=2n-1.5分

(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1，7分

于是數(shù)列{an}的前n項和

Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1，8分

3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n，9分

相減得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n，11分

所以Sn=(n-1)3n+1.12分