參考答案

1.D　2.C　3.D　4.D

5.D　取BC中點M,

即=.

則由重心的性質(zhì)可得=2.

所以 =(+)=(-a+b).

故 =2=-a+b.

所以=+=-2a+b.

故選D.

6.B　g(x)=y′=cos x為偶函數(shù),

所以函數(shù)y=x2g(x)也為偶函數(shù),排除選項A,D.

當x=0時,y=x2g(x)=0,排除選項C.

7.D　根據(jù)約束條件畫出可行域,

因為設k==1+,

整理得(k-1)x-2y+k-3=0,由圖得,k>1.

設直線l0:(k-1)x-2y+k-3=0,

當直線l0過A(0,4)時,k最大為11,

當直線l0過B(0,0)時,k最小為3.故選D.

8.A　由f(x)=sin (ωx+)的最小正周期為4π,得ω=.

因為f(x)≤f()恒成立,

所以f(x)max=f(),

即×+=+2kπ(k∈Z),

由||<,得=,

故f(x)=sin(x+).

令x+=kπ(k∈Z),

得x=2kπ-(k∈Z),

故f(x)的對稱中心為(2kπ-,0)(k∈Z),

當k=0時,f(x)的對稱中心為(-,0),故選A.

9.A　由三視圖可知r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,

所以V=[(π+16π+)×4]×-π×12×4=×21π-2π=12π.故選A.

10.C　因為y=(x-2)ex,

所以y′=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.

令y′=0,得x=1.

當x<1時,y′<0;

當x>1時,y′>0.

所以y=(x-2)ex在x=1處取得極小值,且極小值為-e.

又實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,

所以ac=b2=e2.

11.C　因為拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a,又|CA|+|AF|=2a,所以C,A,F三點共線,且A是線段CF的中點,

因為C(0,4),F(,0),

所以A(,2),則4=2p·⇒p=2,

所以a=+=,

因為圓心C到直線OA:y=2x的距離為=,

所以所求的弦長為2=.選C.

12.B　設g(x)=,x∈[0,+∞),

則g′(x)=

=.

因為f′(x)>f(x),

所以g′(x)>0,

所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),

所以g(2)0),

所以f′(x)=()′=-(x>0).

當00;

當x>1時,f′(x)<0;

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,

故f(x)在x=1處取得極大值.

因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,m+)(m>0)上存在極值,

所以得0,從而g′(x)>0,故g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,

所以g(x)≥g(1)=2>0,

所以實數(shù)t的取值范圍是(-∞,2].

21.解:(1)設F(c,0),P(t,),

則Q(-t,),

所以+=1,

即t2=a2,�、�

因為PF⊥QF,

所以·=-1,

即c2-t2=-,　②

所以由①②得c2-a2=-,

又a2-c2=3,所以a2=4,

所以橢圓M的方程為+=1.

(2)當直線AB斜率存在時,設直線AB方程為y=kx+m.

由

得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,

所以

因為O為重心,

所以=-(+)

=(,),

因為C點在橢圓M上,故有+=1,

可得4m2=4k2+3.

而|AB|

=

=,

d==(利用d是O到AB距離的3倍得到),

所以S△ABC=|AB|·d

=

=

=,

當直線AB斜率不存在時,|AB|=3,d=3,S△ABC=.

所以△ABC的面積為定值.

22.解:(1)設(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)镃上點(x,y),

依題意得

由+=1得x2+()2=1,

即曲線C的方程為x2+=1.

C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(2)由

解得或

不妨設P1(1,0),P2(0,2),

則線段P1P2的中點坐標為(,1),

所求直線的斜率k=,

于是所求直線方程為y-1=x-.

化為極坐標方程,并整理得

2ρcos θ-4ρsin θ=-3,

即ρ=.

23.解:(1)當a=-4時,f(x)≥6,

即|x-4|+|x-2|≥6,

即或

或

解得x≤0或x≥6.

所以解集為(-∞,0]∪[6,+∞).

(2)原命題等價于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,

即|x+a|+2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,即-1≤a≤0.

所以實數(shù)a的取值范圍為[-1,0].