一、 填空題
1.曲線y=在點(diǎn)(1，-1)處的切線方程為 .
2.函數(shù)f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0，3]上的最大值是 .
3.當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
4.設(shè)f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m，n∈R)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為 .
5.若函數(shù)f(x)=+ln x在區(qū)間(m，m+2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
6.已知f(x)=sin x+2x，x∈R，f(1-a)+f(2a)<0，a的取值范圍是 .
7.函數(shù)f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限的充要條件是 .
8.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0)，且方程f'(x)-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4.若f(x)在(-∞，+∞)上無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
二、 解答題
9.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時(shí)都取得極值.
答案
1. y=-2x+1 【解析】由題意，得y'=，所以在點(diǎn)(1，-1)處的切線斜率為-2，所以在點(diǎn)(1，-1)處的切線方程為y=-2x+1.
2. 5 【解析】令f'(x)=6x2-6x-12=0x=2，x=-1().又f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，f(x)max=5.
3. [-6，-2] 【解析】當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，得a≥-3-4+.令t=，則t∈[1，+∞)，a≥-3t3-4t2+t，令g(t)=-3t3-4t2+t，t∈[1，+∞)，則g'(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1)，顯然在[1，+∞)上，g'(t)<0，g(t)單調(diào)遞減，所以g(t)max=g(1)=-6，因此a≥-6.同理，當(dāng)x∈[-2，0)時(shí)，得a≤-2.由以上兩種情況得-6≤a≤-2，顯然當(dāng)x=0時(shí)也成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-6，-2].
4. 6 【解析】因?yàn)閒'(x)=12x2+2mx+(m-3)，又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，所以12x2+2mx+(m-3)≥0在R上恒成立，所以(2m)2-4×12(m-3)≤0，整理得m2-12m+36≤0，即(m-6)2≤0.又因?yàn)?m-6)2≥0，所以(m-6)2=0，所以m=6.
5. [0，1] 【解析】由f(x)=+ln x，得f'(x)=-+=，由f'(x)<0，得00，f(x)在(-∞，+∞).由f(1-a)+f(2a)<0，f(2a)0，“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，+∞)”等價(jià)于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞，+∞)”.
由(*)式得2b=9-5a，c=4a.
Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)，
a∈[1，9].
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，9].
二、 解答題
9. (1) 因?yàn)閒(x)=x3+ax2+bx+c，
f'(x)=3x2+2ax+b.
由解得
f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1)，
所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為和(1，+∞)，減區(qū)間為.
(2) f(x)=x3-x2-2x+c，x∈[-1，2]，
x=-時(shí)，f(x)=+c為極大值，且f(2)=2+c，所以f(2)=2+c為最大值.
要使f(x)f(2)=2+c，
c<-1或c>2，
c的取值范圍是(-∞，-1)∪(2，+∞).
10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax，f'(x)=3ax2-8ax+4a.
f'(x)=0，3ax2-8ax+4a=0.
因?yàn)閍≠0，所以3x2-8x+4=0，所以x=或x=2.
因?yàn)閍>0，所以當(dāng)x∈或x∈(2，+∞)時(shí)，f'(x)>0，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為，(2，+∞);
當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)<0，
所以函數(shù)f(x)的減區(qū)間為
(2) 因?yàn)楫?dāng)x∈時(shí)，f'(x)>0;
當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)<0;
當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f'(x)>0，
所以函數(shù)f(x)在x=時(shí)取得極大值，
即a·2=32，解得a=27.
11. (1) 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=3xln x，
所以f'(x)=3(ln x+1).
令f'(x)=0，得x=.
當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)<0;當(dāng)x∈時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=時(shí)，f(x)有極小值f=-.
(2) 設(shè)g(x)=f'(x)=3(ax2+1+ln x)，D=.
由題意，g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且x0兩側(cè)g(x)異號(hào).
①當(dāng)a≥0時(shí)，g(x)在D上單調(diào)遞增，且g(x)>g≥0，所以g(x)在D上無(wú)零點(diǎn).
②當(dāng)a<0時(shí)，在(0，+∞)上考察g(x)：
g'(x)=，
令g'(x)=0，得x1=.
所以g(x)在(0，x1)上單調(diào)遞增，在(x1，+∞)上單調(diào)遞減.
(ⅰ) 當(dāng)g(e)·g<0，即(ae2+2)·<0，即-0.
g=<0，所以g(x)在D上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，且x0兩側(cè)g(x)異號(hào).
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)任意的x∈[-1，2]，不等式f(x)0，函數(shù)f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有極大值32.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求實(shí)數(shù)a的值.
11.若函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax3+3xln x(a∈R).
(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
