(限時45分鐘)

　　計算題(每小題20分，共80分)

　　1.(2015·昆明模擬)如圖所示，在xOy豎直平面的第一、四象限，有水平向右的勻強電場，在第二、三象限中存在磁感應(yīng)強度為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場和場強大小與第一象限的場強大小相等、方向豎直向上的勻強電場.第一象限中P點的坐標(biāo)是，在P點拴一根絕緣細(xì)線，長為R，細(xì)線另一端系一個質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，現(xiàn)將細(xì)線拉至與水平方向成45°角由靜止釋放.小球擺至O點位置時，細(xì)線恰好脫開，小球跨過y軸，恰好做圓周運動.求：

　　(1)電場強度的大小;

　　(2)小球到達O點時的速度;

　　(3)小球在y軸左側(cè)做勻速圓周運動的旋轉(zhuǎn)半徑.

　　答案：(1)　(2)，方向與y軸正方向成60°角斜向上　(3)

　　解析：(1)小球跨過y軸，恰好做圓周運動，可知小球受到的電場力大小等于重力

　　Eq=mg

　　所以場強E=.

　　(2)小球從初始狀態(tài)釋放，擺動到O點，根據(jù)動能定理：

　　mgR-EqR=mv2

　　得小球的速度v=

　　速度的方向與y軸正方向成60°角斜向上.

　　(3)如圖，小球在y軸左側(cè)做勻速圓周運動，小球受到的電場力大小等于重力

　　洛倫茲力提供向心力F洛=m

　　即qvB=m

　　得旋轉(zhuǎn)半徑r=.

　　2.(2015·石家莊質(zhì)檢)如圖所示，正三角形ABC內(nèi)有B=0.1 T的勻強磁場，方向垂直于紙面向外，在BC邊右側(cè)有平行于BC且足夠長的擋板EF，已知B點到擋板的水平距離BD=0.5 m.某一質(zhì)量m=4×10-10 kg、電荷量q=1×10-4 C的粒子，以速度v0=1×104 m/s自A點沿磁場中的AB邊射入，恰可從BC邊水平射出打到擋板上.不計粒子重力.

　　(1)求粒子從BC邊射出時，射出點距C點的距離和粒子在磁場中運動的時間;

　　(2)如果在BC至EF區(qū)域加上豎直向下的勻強電場，使粒子仍能打到擋板上，求所加電場電場強度的最大值.

　　答案：(1) m　×10-5 s　(2)400 V/m

　　解析：(1)粒子在磁場中的運動軌跡如圖甲所示

　　粒子進入磁場后做勻速圓周運動，半徑為

　　r==0.4 m

　　MC的長度

　　lMC== m

　　粒子在磁場中的運動時間

　　t=×=×10-5 s.

　　(2)當(dāng)粒子恰好打到擋板上Q點時，軌跡與擋板相切，速度方向沿?fù)醢錏F，如圖乙所示，由類平拋運動的規(guī)律，Q點處粒子的速度的反向延長線交于水平位移的中點

　　有l(wèi)MN=lNP

　　由題意知lMN=BD=0.5 m

　　當(dāng)粒子打到Q點時，tan 60°=

　　在豎直方向上的分速度vy=at=t

　　粒子的運動時間t=

　　聯(lián)立得E=400 V/m.

　　3.如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，x軸上方有方向沿x軸正向的勻強電場，下方有一半徑為R的圓形有界勻強磁場，圓心在y軸上，且圓與x軸相切，磁場方向垂直于紙面向外.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子在坐標(biāo)為(L,2L)的A點，以初速度v0沿y軸負(fù)方向射入電場，且剛好從O點射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場中射出.

　　(1)求電場強度和磁感應(yīng)強度的大小;

　　(2)若該粒子沿y軸負(fù)方向射出時的初速度大小為v0，要使該粒子也能從O點進入磁場，且經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場中射出，求該粒子開始射出時的位置坐標(biāo).

　　答案：(1)　　(2)

　　解析：(1)粒子從A點射入后做類平拋運動

　　2L=v0t1

　　L=vxt1

　　得vx=v0

　　粒子在O點的速度大小v1==v0

　　與x軸負(fù)方向的夾角θ滿足tan θ==1，θ=45°

　　從A點到O點，根據(jù)動能定理

　　qEL=mv-mv

　　得E=

　　粒子在磁場中做勻速圓周運動，由于粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，剛好平行于x軸從磁場中射出，其運動軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運動的半徑等于圓形有界磁場的半徑，即r=R

　　得B=.

　　(2)由幾何關(guān)系可知，粒子從O點進入磁場后的速度大小等于v0才能以平行于x軸的方向射出磁場.則粒子進磁場時沿x軸負(fù)方向的速度vx==v0

　　x===L

　　y=v0t=v0·=v0·=L

　　因此粒子開始射出時的位置坐標(biāo)為.

　　4.(2015·天津理綜)現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場、磁場控制帶電粒子的運動.真空中存在著如圖所示的多層緊密相鄰的勻強電場和勻強磁場，電場與磁場的寬度均為d.電場強度為E，方向水平向右;磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里.電場、磁場的邊界互相平行且與電場方向垂直.一個質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場、磁場中運動，不計粒子重力及運動時的電磁輻射.

　　(1)求粒子在第2層磁場中運動時速度v2的大小與軌跡半徑r2;

　　(2)粒子從第n層磁場右側(cè)邊界穿出時，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sin θn;

　　(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側(cè)邊界穿出，試問在其他條件不變的情況下，也進入第n層磁場，但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場右側(cè)邊界，請簡要推理說明之.

　　答案：見解析

　　解析：(1)粒子在進入第2層磁場時，經(jīng)過兩次電場加速，中間穿過磁場時洛倫茲力不做功

　　由動能定理，有

　　2qEd=mv

　　由式解得

　　v2=2

　　粒子在第2層磁場中受到的洛倫茲力充當(dāng)向心力，有

　　qv2B=m

　　由式解得

　　r2= .

　　(2)設(shè)粒子在第n層磁場中運動的速度為vn，軌跡半徑為rn(各量的下標(biāo)均代表粒子所在層數(shù)，下同)

　　nqEd=mv

　　qvnB=m

　　粒子進入第n層磁場時，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場右側(cè)邊界穿出時速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場中運動時，垂直于電場線方向的速度分量不變，有

　　vn-1sin θn-1=vnsin αn

　　由圖1可看出

　　rnsin θn-rnsin αn=d

　　由式得

　　rnsin θn-rn-1sin θn-1=d

　　由式看出r1sin θ1、r2sin θ2、…、rnsin θn為一等差數(shù)列，公差為d，可得

　　rnsin θn=r1sin θ1+(n-1)d

　　圖1　　　　　　　　圖2

　　當(dāng)n=1時，由圖2看出

　　r1sin θ1=d

　　由式得

　　sin θn=B .

　　(3)若粒子恰好不能從第n層磁場右側(cè)邊界穿出，則

　　θn=，sin θn=1

　　在其他條件不變的情況下，換用比荷更大的粒子，設(shè)其比荷為，假設(shè)能穿出第n層磁場右側(cè)邊界，粒子穿出時速度方向與水平方向的夾角為θ′n，由于>

　　則導(dǎo)致sin θ′n>1

　　說明θ′n不存在，即原假設(shè)不成立.所以比荷較該粒子大的粒子不能穿出該層磁場右側(cè)邊界.