題型一　有關(guān)定直線、定圓的最值問題

　　例1　已知x，y滿足x+2y-5=0，則(x-1)2+(y-1)2的最小值為________.

　　破題切入點(diǎn)　直接用幾何意義——距離的平方來解決，另外還可以將x+2y-5=0改寫成x=5-2y，利用二次函數(shù)法來解決.

　　答案

　　解析　方法一　(x-1)2+(y-1)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)Q(1,1)的距離的平方.

　　由已知可知點(diǎn)P在直線l：x+2y-5=0上，

　　所以PQ的最小值為點(diǎn)Q到直線l的距離，

　　即d==，

　　所以(x-1)2+(y-1)2的最小值為d2=.

　　方法二　由x+2y-5=0，得x=5-2y，

　　代入(x-1)2+(y-1)2并整理可得

　　(5-2y-1)2+(y-1)2=4(y-2)2+(y-1)2

　　=5y2-18y+17=5(y-)2+，

　　所以可得最小值為.

　　題型二　有關(guān)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)直線、動(dòng)圓的最值問題

　　例2　直線l過點(diǎn)P(1,4)，分別交x軸的正方向和y軸的正方向于A、B兩點(diǎn).當(dāng)OA+OB最小時(shí)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程.

　　破題切入點(diǎn)　設(shè)出直線方程，將OA+OB表示出來，利用基本不等式求最值.

　　解　依題意，l的斜率存在，且斜率為負(fù)，

　　設(shè)直線l的斜率為k，

　　則y-4=k(x-1)(k<0).

　　令y=0，可得A(1-，0);

　　令x=0，可得B(0,4-k).

　　OA+OB=(1-)+(4-k)=5-(k+)

　　=5+(-k+)≥5+4=9.

　　所以，當(dāng)且僅當(dāng)-k=且k<0，

　　即k=-2時(shí)，OA+OB取最小值.

　　這時(shí)l的方程為2x+y-6=0.

　　題型三　綜合性問題

　　(1)圓中有關(guān)元素的最值問題

　　例3　由直線y=x+2上的點(diǎn)P向圓C：(x-4)2+(y+2)2=1引切線PT(T為切點(diǎn))，當(dāng)PT的長最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.

　　破題切入點(diǎn)　將PT的長表示出來，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

　　答案　(0,2)

　　解析　根據(jù)切線段長、圓的半徑和圓心到點(diǎn)P的距離的關(guān)系，可知PT=，故PT最小時(shí)，即PC最小，此時(shí)PC垂直于直線y=x+2，則直線PC的方程為y+2=-(x-4)，即y=-x+2，聯(lián)立方程解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2).

　　(2)與其他知識(shí)相結(jié)合的范圍問題

　　例4　已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|+|≥||，那么k的取值范圍是________.

　　破題切入點(diǎn)　結(jié)合圖形分類討論.

　　答案　[，2)

　　解析　當(dāng)|+|=||時(shí)，O，A，B三點(diǎn)為等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，其中OA=OB，∠AOB=120°，從而圓心O到直線x+y-k=0(k>0)的距離為1，此時(shí)k=;當(dāng)k>時(shí)，|+|>||，又直線與圓x2+y2=4存在兩交點(diǎn)，故k<2，綜上，k的取值范圍是[，2).

　　總結(jié)提高　(1)主要類型：

　�、賵A外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)間距離的最值.

　�、谥本�與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值.

　�、圻^圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得的弦長的最值.

　　④直線與圓相離，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段長的最小值問題.

　　⑤兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值.

　�、抟阎獔A上的動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，求與點(diǎn)Q的坐標(biāo)有關(guān)的式子的最值，如求ax+by，等的最值，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.

　　(2)解題思路：

　　①數(shù)形結(jié)合法：一般結(jié)合待求距離或式子的幾何意義，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的位置關(guān)系求解.

　　②函數(shù)法：引入變量構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.

　　(3)注意事項(xiàng)：

　�、贉�(zhǔn)確理解待求量的幾何意義，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為直線與直線或直線與圓的相應(yīng)的位置關(guān)系;

　�、谏婕扒芯�段長的最值時(shí)，要注意切線，圓心與切點(diǎn)的連線及圓心與切線段另一端點(diǎn)的連線組成一個(gè)直角三角形.

　　1.若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為________.

　　答案　3

　　解析　依題意知，AB的中點(diǎn)M的集合是與直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0距離都相等的直線，則M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在直線的方程為l：x+y+m=0，根據(jù)平行線間的距離公式得=|m+7|=|m+5|m=-6，

　　即l：x+y-6=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，

　　得M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.

　　2.已知點(diǎn)M是直線3x+4y-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圓(x+1)2+(y+1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值是________.

　　答案

　　解析　圓心(-1，-1)到點(diǎn)M的距離的最小值為點(diǎn)(-1，-1)到直線的距離d==，故點(diǎn)N到點(diǎn)M的距離的最小值為d-1=.

　　3.已知P是直線l：3x-4y+11=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是________.

　　答案

　　解析　如圖所示，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=1，

　　圓心為C(1,1)，半徑為r=1.

　　根據(jù)對稱性可知四邊形PACB面積等于

　　2S△APC=2×PA·r=PA，

　　故PA最小時(shí)，四邊形PACB的面積最小，

　　由于PA=，

　　故PC最小時(shí)，PA最小，

　　此時(shí)，直線CP垂直于直線l：3x-4y+11=0，

　　故PC的最小值為圓心C到直線l：3x-4y+11=0

　　的距離d===2，

　　所以PA===.

　　故四邊形PACB面積的最小值為.

　　4.(2013·江西改編)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y=相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率為________.

　　答案　-

　　解析　∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB

　　=sin∠AOB≤.

　　當(dāng)∠AOB=時(shí)，S△AOB面積最大.

　　此時(shí)O到AB的距離d=.

　　設(shè)AB方程為y=k(x-)(k<0)，即kx-y-k=0.

　　由d==，得k=-.

　　5.過點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形區(qū)域{(x，y)|x2+y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為________.

　　答案　x+y-2=0

　　解析　由題意知，當(dāng)圓心與P的連線和過點(diǎn)P的直線垂直時(shí)，符合條件.

　　圓心O與P點(diǎn)連線的斜率k=1，

　　所以直線OP垂直于x+y-2=0.

　　6.已知Ω=，直線y=mx+2m和曲線y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)A，點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M)，若P(M)∈，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

　　答案　[0,1]

　　解析　畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)(-2,0)，圓是上半圓，

　　直線過(-2,0)，(0,2)時(shí)，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)A，

　　點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P(M)，

　　此時(shí)P(M)=，

　　當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，P(M)=1，

　　故直線的斜率范圍是[0,1].

　　7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是________.

　　答案

　　解析　可轉(zhuǎn)化為圓C的圓心到直線y=kx-2的距離不大于2.

　　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+y2=1，圓心為(4,0).

　　由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應(yīng)不大于2，

　　即≤2.

　　整理，得3k2-4k≤0，解得0≤k≤.

　　故k的最大值是.

　　8.直線l過點(diǎn)(0，-4)，從直線l上的一點(diǎn)P作圓C：x2+y2-2y=0的切線PA，PB(A，B為切點(diǎn))，若四邊形PACB面積的最小值為2，則直線l的斜率k為________.

　　答案　±2

　　解析　易知圓的半徑為1，因?yàn)樗倪呅蜳ACB的最小面積是2，此時(shí)切線段長為2，圓心(0,1)到直線y=kx-4的距離為，即=，解得k=±2.

　　9.若直線ax+by=1過點(diǎn)A(b，a)，則以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是________.

　　答案　π

　　解析　∵直線ax+by=1過點(diǎn)A(b，a)，

　　∴ab+ab=1.∴ab=.

　　又OA=，

　　∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓的面積為

　　S=π·OA2=(a2+b2)π≥2ab·π=π，

　　∴面積的最小值為π.

　　10.與直線x-y-4=0和圓A：x2+y2+2x-2y=0都相切的半徑最小的圓C的方程是________________________________________________________________________.

　　答案　(x-1)2+(y+1)2=2

　　解析　易知所求圓C的圓心在直線y=-x上，故設(shè)其坐標(biāo)為C(c，-c)，又其直徑為圓A的圓心A(-1,1)到直線x-y-4=0的距離減去圓A的半徑，即

　　2r=-=2r=，

　　即圓心C到直線x-y-4=0的距離等于，

　　故有=c=3或c=1，

　　結(jié)合圖形當(dāng)c=3時(shí)圓C在直線x-y-4=0下方，不符合題意，故所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.

　　11.已知點(diǎn)P(x，y)是圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn).

　　(1)求點(diǎn)P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;

　　(2)求的最大值和最小值.

　　解　(1)圓心C(-2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為d==.

　　所以點(diǎn)P到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，

　　最小值為d-r=-1=.

　　(2)設(shè)k=，

　　則直線kx-y-k+2=0與圓(x+2)2+y2=1有公共點(diǎn)，

　　∴≤1，∴≤k≤，

　　∴kmax=，kmin=.

　　即的最大值為，最小值為.

　　12.(2014·蘇州模擬)已知圓M的方程為x2+y2-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓O與圓M相切.

　　(1)求圓O的方程;

　　(2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓O內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得DE，DO，DF成等比數(shù)列，求·的取值范圍.

　　解　(1)圓M的方程可整理為(x-1)2+(y-1)2=8，

　　故圓心M(1,1)，半徑R=2.

　　圓O的圓心為O(0,0)，

　　因?yàn)镸O=<2，

　　所以點(diǎn)O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M.

　　設(shè)圓O的半徑為r，

　　因?yàn)閳AO內(nèi)切于圓M，

　　所以MO=R-r，

　　即=2-r，

　　解得r=.

　　所以圓O的方程為x2+y2=2.