題型一 直線和圓的位置關(guān)系的判斷問(wèn)題
例1 已知圓C：x2+y2-4x=0，l是過(guò)點(diǎn)P(3,0)的直線，則l與C的位置關(guān)系為________.
破題切入點(diǎn) 由于不知道直線l的方程，于是需要求P點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系.
答案 相交
解析 將點(diǎn)P(3,0)的坐標(biāo)代入圓的方程，得
32+02-4×3=9-12=-3<0，
∴點(diǎn)P(3,0)在圓內(nèi).
∴過(guò)點(diǎn)P的直線l一定與圓C相交.
題型二 弦長(zhǎng)問(wèn)題
例2 若圓上一點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，且圓與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2，則圓的方程是__________________.
破題切入點(diǎn) 將已知條件轉(zhuǎn)化為直線x+2y=0過(guò)圓心，弦長(zhǎng)可通過(guò)幾何法表示.
答案 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
解析 設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線x+2y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，說(shuō)明圓心在直線x+2y=0上，即有a+2b=0，又(2-a)2+(3-b)2=r2，而圓與直線x-y+1=0相交的弦長(zhǎng)為2，故r2-2=2，
依據(jù)上述方程，解得或
所以，所求圓的方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
題型三 直線和圓的綜合性問(wèn)題
例3 如圖所示，已知以點(diǎn)A(-1,2)為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切，過(guò)點(diǎn)B(-2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.
(1)求圓A的方程;
(2)當(dāng)=2時(shí)，求直線l的方程;
(3)B·B是否為定值?如果是，求出其定值;如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
破題切入點(diǎn) (1)由圓A與直線l1相切易求出圓的半徑，進(jìn)而求出圓A的方程.
(2)注意直線l的斜率不存在時(shí)也符合題意，以防漏解，另外應(yīng)注意利用幾何法，以減小計(jì)算量.
(3)分兩種情況分別計(jì)算平面向量的數(shù)量積為定值后方可下結(jié)論.
解 (1)設(shè)圓A的半徑為R.
∵圓A與直線l1：x+2y+7=0相切，
∴R==2.
∴圓A的方程為(x+1)2+(y-2)2=20.
(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-2符合題意;
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.連結(jié)AQ，則AQ⊥MN.
∵=2，∴|AQ|==1.
由==1，得k=.
∴直線l的方程為3x-4y+6=0.
∴所求直線l的方程為x=-2或3x-4y+6=0.
(3)∵AQ⊥BP，∴A·B=0.
∴B·B=(B+A)·B
=B·B+A·B=B·B.
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P.
則B=，又B=(1,2)，
∴B·B=B·B=-5.
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+2).
由解得P.
∴B=.
∴B·B=B·B=-=-5.
綜上所述，B·B是定值，且B·B=-5.
總結(jié)提高 (1)直線和圓的位置關(guān)系一般有兩種判斷方法：一是將直線和圓的方程聯(lián)立，利用判別式的符號(hào)求解根的個(gè)數(shù)，即為直線和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù);二是將圓心到直線的距離d和半徑r相比較，當(dāng)d>r時(shí)相離，d=r時(shí)相切，d0)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的最大值為________.
答案 6
解析 根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，
則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r=1，且|AB|=2m.
因?yàn)椤螦PB=90°，連結(jié)OP，
易知|OP|=|AB|=m.
要求m的最大值，
即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離.
因?yàn)閨OC|==5，
所以|OP|max=|OC|+r=6，
即m的最大值為6.
4.(2014·福建改編)直線l：y=kx+1與圓O：x2+y2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則“k=1”是“△OAB的面積為”的________條件.
答案 充分不必要
解析 將直線l的方程化為一般式得kx-y+1=0，所以圓O：x2+y2=1的圓心到該直線的距離d=.又弦長(zhǎng)為2=，所以S△OAB=··==，解得k=±1.因此可知“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件.
5.直線x+y-2=0與圓x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)度為________.
答案 2
解析 ∵圓心到直線x+y-2=0的距離
d==1，半徑r=2，
∴弦長(zhǎng)|AB|=2=2=2.
6.“a=b”是“直線y=x+2與圓(x-a)2+(x-b)2=2相切”的________條件.
答案 充分不必要
解析 根據(jù)已知得直線與圓相切的充要條件為：=|a-b+2|=2a=b或a-b=-4，故“a=b”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.
7.已知圓C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0與圓C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，若圓C1與圓C2相外切，則實(shí)數(shù)m=________.
答案 -5或2
解析 對(duì)于圓C1與圓C2的方程，配方得
圓C1：(x-m)2+(y+2)2=9，圓C2：(x+1)2+(y-m)2=4，
則C1(m，-2)，r1=3，C2(-1，m)，r2=2.
如果圓C1與圓C2相外切，那么有C1C2=r1+r2，
即=5，
則m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2，
所以當(dāng)m=-5或m=2時(shí)，圓C1與圓C2相外切.
8.已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)比為1∶2，則圓C的方程為______________.
答案 x2+2=
解析 ∵圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴圓C的圓心在y軸上，可設(shè)C(0，b)，
設(shè)圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2+(y-b)2=r2.
依題意，得解得
∴圓C的方程為x2+2=.
9.(2014·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為________.
答案
解析 圓心為(2，-1)，半徑r=2.
圓心到直線的距離d==，
所以弦長(zhǎng)為2=2=.
10.(2014·山東)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________.
答案 (x-2)2+(y-1)2=4
解析 設(shè)圓C的圓心為(a，b)(b>0)，
由題意得a=2b>0，且a2=()2+b2，
解得a=2，b=1.
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4.
11.已知點(diǎn)M(3,1)，直線ax-y+4=0及圓(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程;
(2)若直線ax-y+4=0與圓相切，求a的值;
(3)若直線ax-y+4=0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2，求a的值.
解 (1)圓心C(1,2)，半徑為r=2，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=3.
由圓心C(1,2)到直線x=3的距離d=3-1=2=r知，
此時(shí)，直線與圓相切.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-1=k(x-3)，
即kx-y+1-3k=0.
由題意知=2，
解得k=.
所以直線方程為y-1=(x-3)，
即3x-4y-5=0.
綜上所述，過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x-4y-5=0.
(2)由題意有=2，
解得a=0或a=.
(3)∵圓心到直線ax-y+4=0的距離為，
∴()2+()2=4，
解得a=-.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2-12x+32=0的圓心為Q，過(guò)點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點(diǎn)A，B.
(1)求k的取值范圍;
(2)是否存在常數(shù)k，使得向量+與共線?如果存在求k的值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 方法一 (1)圓的方程可寫成(x-6)2+y2=4，
所以圓心為Q(6,0).
過(guò)P(0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2，
代入圓的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0，
整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①
直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B等價(jià)于
Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0，
