題型一　立體幾何中的表面積、體積計算

　　例1　已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，則三棱錐S—ABC的體積為________.

　　破題切入點　作出圖形，可知三棱錐S-ABC的體積是兩個三棱錐之和，通過三角形的邊角關系，計算可得所求.

　　答案

　　解析　如圖，過A作AD垂直SC于D，連結(jié)BD.

　　由于SC是球的直徑，所以∠SAC=∠SBC=90°，又∠ASC=∠BSC=30°，又SC為公共邊，

　　所以△SAC≌△SBC.

　　由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.

　　由此得SC⊥平面ABD.

　　所以VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD=S△ABD·SC.

　　由于在Rt△SAC中，∠ASC=30°，SC=4，

　　所以AC=2，SA=2，由于AD==.

　　同理在Rt△BSC中也有BD==.

　　又AB=，所以△ABD為正三角形，

　　所以VS—ABC=S△ABD·SC=××()2·sin 60°×4=.

　　題型二　立體幾何中的長度、距離的計算

　　例2　已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________.

　　破題切入點　作出圖形，關鍵是找到球心的位置.

　　答案

　　解析　如圖，作PM⊥面ABC，設PA=a，則AB=a，CM=a，

　　PM=a.

　　設球的半徑為R，

　　所以2+2=R2，

　　將R=代入上式，

　　解得a=2，所以d=-=.

　　總結(jié)提高　(1)立體幾何中有關表面積體積的計算首先要熟悉幾何體的特征，其次運用好公式，作好輔助線等.

　　(2)立體幾何中有關長度和距離的求解要準確靈活轉(zhuǎn)化，計算距離時要注意垂直距離如何找到，有時利用等體積的方法.

　　1.(2014·大綱全國改編)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為________.

　　答案

　　解析　如圖，設球心為O，半徑為r，

　　則Rt△AOF中，(4-r)2+()2=r2，

　　解得r=，

　　所以，該球的表面積為4πr2=4π×()2=π.

　　2.(2014·福建改編)以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為________.

　　答案　2π

　　解析　以正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱底面半徑r=1，高h=1，所以側(cè)面積S=2πrh=2π.

　　3.(2013·遼寧改編)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上.若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為________.

　　答案

　　解析　因為AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，

　　將直三棱柱補成內(nèi)接于球的長方體，則長方體的對角線l= =2R，R=.

　　4.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為________.

　　答案　π

　　解析　側(cè)面展開圖扇形的半徑為2，圓錐底面半徑為1，

　　∴h==，

　　∴V=π×1×=π.

　　5.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系為________.

　　答案　平行

　　解析　取PD的中點F，連結(jié)EF，

　　在△PCD中，EF綊CD.

　　又∵AB∥CD且CD=2AB，

　　∴EF綊AB，

　　∴四邊形ABEF是平行四邊形，

　　∴EB∥AF.

　　又∵EB平面PAD，AF平面PAD，

　　∴BE∥平面PAD.

　　6.已知兩球O1和O2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)部，且互相外切，若球O1與過點A的正方體的三個面相切，球O2與過點C1的正方體的三個面相切，則球O1和球O2的表面積之和的最小值為________.

　　答案　(6-3)π

　　解析　設球O1，O2的半徑分別為r1，r2，

　　由題意知O1A+O1O2+O2C1=，

　　而O1A=r1，O1O2=r1+r2，O2C1=r2，

　　∵r1+r1+r2+r2=.∴r1+r2=，

　　從而S1+S2=4πr+4πr=4π(r+r)

　　≥4π·=(6-3)π.

　　7.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度為______.

　　答案

　　解析　在正方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，∴AC=2.

　　又E為AD的中點，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，

　　平面ADC∩平面AB1C=AC，∴EF∥AC，

　　∴F為DC的中點，∴EF=AC=.

　　8.(2014·江蘇)設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且=，則的值是________.

　　答案

　　解析　設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，

　　由=，

　　得=，則=.

　　由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1=2πr2h2，

　　即r1h1=r2h2，

　　所以===.

　　9.已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為________.

　　答案　3π

　　解析

　　如圖，構造正方體ANDM—FBEC.因為三棱錐A—BCD的所有棱長都為，所以正方體ANDM—FBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為.

　　易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球，所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球=4π2=3π.