題型一　由相鄰兩項關系式求通項公式

　　例1　已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0，則它的通項公式為________.

　　破題切入點　對條件因式分解.

　　答案　an=

　　解析　由(n+2)a-(n+1)a+anan+1=0，

　　得[(n+2)an+1-(n+1)an](an+1+an)=0，

　　又an>0，所以(n+2)an+1=(n+1)an，

　　即=，an+1=an，

　　所以an=··…·a1=a1(n≥2)，

　　所以an=(n=1適合)，

　　于是所求通項公式為an=.

　　題型二　已知多項間的遞推關系求通項公式

　　例2　已知數(shù)列{an}滿足a1=，anan-1=an-1-an，則數(shù)列{an}的通項公式為________.

　　破題切入點　求證{-}為等差數(shù)列，再利用累加法求得，便可求得an.

　　答案　an=

　　解析　∵anan-1=an-1-an，∴-=1.

　　∴=+++…+=2+1+1+…+ =n+1.

　　∴=n+1，∴an=.

　　題型三　構造法求通項公式

　　例3　(1)已知a1=1，an+1=2an+1，求an;

　　(2)已知a1=1，an+1=，求an.

　　破題切入點　觀察條件，聯(lián)想學過的數(shù)列來構造.

　　解　(1)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1)，

　　又a1+1=2≠0，

　　于是可知{an+1}為以2為首項2為公比的等比數(shù)列.

　　即an+1=2n，∴an=2n-1，

　　∴所求通項公式為an=2n-1.

　　(2)由an+1=得-=1(常數(shù))，

　　又=1，∴{}為1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

　　∴=n，從而an=，

　　即所求通項公式為an=.

　　總結提高　求數(shù)列通項公式常見的方法：

　　(1)觀察法：利用遞推關系寫出前n項，根據(jù)前n項的特點觀察，歸納猜想出an的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明.

　　(2)利用前n項和與通項的關系an=

　　(3)在已知數(shù)列{an}中，滿足an+1-an=f(n)且f(1)+f(2)+…+f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an.

　　(4)在已知數(shù)列{an}中，滿足=f(n)且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累乘法求數(shù)列的通項an.

　　(5)將遞推關系進行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).

　　1.在數(shù)列{an}中，a1=1，anan-1=an-1+(-1)n(n≥2，n∈N*)，則的值是________.

　　答案

　　解析　由已知得a2=1+(-1)2=2，

　　∴a3·a2=a2+(-1)3，∴a3=，

　　∴a4=+(-1)4，∴a4=3，

　　∴3a5=3+(-1)5，∴a5=，

　　∴=×=.

　　2.學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇.調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜;而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜.用an，bn分別表示在第n個星期的星期一選A種菜和選B種菜的人數(shù)，如果a1=300，則a10=________.

　　答案　300

　　解析　依題意，得消去bn，

　　得an+1=an+150.

　　由a1=300，得a2=300;

　　由a2=300，得a3=300;

　　……

　　從而得a10=300.

　　3.已知f(x)=log2+1，an=f()+f()+…+f()，n為正整數(shù)，則a2 015=________.

　　答案　2 014

　　解析　因為f(x)=log2+1，

　　所以f(x)+f(1-x)=log2+1+log2+1=2.

　　所以f()+f()=2，

　　f()+f()=2，…，

　　f()+f()=2，

　　由倒序相加，得2an=2(n-1)，an=n-1，

　　所以a2 015=2 015-1=2 014.

　　4.在正項數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=2an+3×5n，則數(shù)列{an}的通項公式為________.

　　答案　an=5n-3×2n-1

　　解析　在遞推公式an+1=2an+3×5n的兩邊同時除以5n+1，

　　得=×+，①

　　令=bn，則①式變?yōu)閎n+1=bn+，

　　即bn+1-1=(bn-1)，

　　所以數(shù)列{bn-1}是等比數(shù)列，

　　其首項為b1-1=-1=-，

　　公比為.

　　所以bn-1=(-)×()n-1，

　　即bn=1-×()n-1=，

　　故an=5n-3×2n-1.

　　5.數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足2SnSn-1=an(n≥2，n∈N*)，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項公式為________.

　　答案　an=

　　解析　當n≥2時，an=Sn-Sn-1，

　　則2SnSn-1=Sn-Sn-1，

　　即-=-2，

　　又==1，

　　故{}是首項為1，公差為-2的等差數(shù)列，

　　則=1+(n-1)(-2)=-2n+3，

　　所以Sn=.

　　當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-

　　=，

　　驗證a1=1不滿足，

　　故所求通項公式an=

　　6.設函數(shù)f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=，數(shù)列{an}滿足f(1)=n2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項an=________.

　　答案

　　解析　由f(0)=，得a1=，

　　由f(1)=n2an(n∈N*)，

　　得Sn=a1+a2+…+an=n2an.

　　當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1，

　　整理得=，

　　所以an=a1×××…×

　　=××××…×

　　=，

　　顯然a1=也符合.

　　即{an}的通項為an=.

　　7.若f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數(shù)字之和，如62+1=37，f(6)=3+7=10，f1(n)=f(n)，f2(n)=f(f1(n))，…，fk+1(n)=f(fk(n))，k∈N*，則f2 014(4)=________.

　　答案　8

　　解析　因為42+1=17，f(4)=1+7=8，

　　則f1(4)=f(4)=8，f2(4)=f(f1(4))=f(8)=11，

　　f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5，

　　f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8，…，

　　所以fk+1(n)=f(fk(n))為周期數(shù)列.

　　可得f2 014(4)=8.

　　8.數(shù)列{an}，{bn}滿足an=ln n，bn=，則數(shù)列{an·bn}中第________項最大.

　　答案　3

　　解析　設函數(shù)f(x)=ln x，則f′(x)=，

　　令f′(x)=0，得x=e.

　　分析知函數(shù)f(x)在(0，e]上是增函數(shù)，在[e，+∞)上是減函數(shù)，

　　又f(2)=ln 2=ln 0，

　　于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①

　　但<，

　　所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②

　　由①②知，a2n-a2n-1>0，因此

　　a2n-a2n-1=()2n-1=.③

　　因為{a2n}是遞減數(shù)列，同理可得a2n+1-a2n<0，

　　故a2n+1-a2n=-()2n=.④

　　由③④可知，an+1-an=.

　　于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)

　　=1+-+…+=1+·

　　=+·.

　　故數(shù)列{an}的通項公式為an=+·.