題型一　平面向量數(shù)量積的基本運算

　　例1　已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么·的最小值為________.

　　破題切入點　對于四邊形OAPB中變化的量，可以是切線的長度、也可以是∠APB，這兩個變化的量都可以獨立地控制四邊形OAPB.因此可以用這兩個量中的一個來表示·;還可以建立平面直角坐標系，使問題數(shù)量化.

　　答案　-3+2

　　解析　方法一　設||=||=x，∠APB=θ，

　　則tan =，

　　從而cos θ==.

　　·=||·||·cos θ

　　=x2·=

　　=

　　=x2+1+-3≥2-3，

　　當且僅當x2+1=，

　　即x2=-1時取等號，

　　故·的最小值為2-3.

　　方法二　設∠APB=θ，0<θ<π，

　　則||=||=.

　　·=||||cos θ

　　=()2cos θ

　　=·(1-2sin2)

　　=.

　　令x=sin2，04|a|，則Smin>0;

　�、萑魘b|=2|a|，Smin=8|a|2，則a與b的夾角為.

　　答案�、冖�

　　解析　∵xi，yi(i=1,2,3,4,5)均由2個a和3個b排列而成，

　　∴S=xiyi，可能情況有以下三種：

　　(1)S=2a2+3b2;

　　(2)S=a2+2a·b+2b2;

　　(3)S=4a·b+b2.

　　∵2a2+3b2-(a2+2a·b+2b2)=a2+b2-2a·b=a2+b2-2|a||b|cos θ≥0，

　　a2+2a·b+2b2-4a·b-b2=a2+b2-2a·b≥0，

　　∴S的最小值為Smin=b2+4a·b.

　　因此S最多有3個不同的值，故①不正確.

　　當a⊥b時，S的最小值為Smin=b2與|a|無關，故②正確.

　　當a∥b時，S的最小值為Smin=b2+4|a||b|或Smin=b2-4|a||b|與|b|有關，故③不正確.

　　當|b|>4|a|時，Smin=b2+4|a||b|cos θ≥b2-4|a||b|=|b|(|b|-4|a|)>0，故④正確.

　　當|b|=2|a|時，由Smin=b2+4a·b=8|a|2知，4a·b=4a2，即a·b=a2，∴|a||b|cos θ=a2，∴cos θ=，

　　∴θ=，故⑤不正確.

　　因此正確命題的編號為②④.

　　11.已知向量a=(sin x，)，b=(cos x，-1).

　　(1)當a∥b時，求cos2x-sin 2x的值;

　　(2)設函數(shù)f(x)=2(a+b)·b，已知在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=，b=2，sin B=，求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0，])的取值范圍.

　　解　(1)因為a∥b，

　　所以cos x+sin x=0.

　　所以tan x=-.

　　故cos2x-sin 2x=

　　==.

　　(2)f(x)=2(a+b)·b

　　=2(sin x+cos x，-)·(cos x，-1)

　　=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+.

　　由正弦定理，得=，

　　所以sin A===.

　　所以A=或A=.

　　因為b>a，所以A=.

　　所以f(x)+4cos(2A+)=sin(2x+)-.

　　因為x∈[0，]，

　　所以2x+∈[，].

　　所以-1≤f(x)+4cos(2A+)≤-.

　　所以f(x)+4cos(2A+)的取值范圍為[-1，-].

　　12.在△ABC中，AC=10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD=5，且滿足=.

　　(1)求|-|;

　　(2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x=+t，y=t+，令k=x·y，求k的最小值.

　　解　(1)由=，且A，B，D三點共線，

　　可知||=||.

　　又AD=5，所以DB=11.

　　在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，

　　在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，

　　所以BC=14.

　　所以|-|=||=14.

　　(2)由(1)，知||=16，||=10，||=14.

　　由余弦定理，得cos A==.

　　由x=+t，y=t+，

　　知k=x·y

　　=(+t)·(t+)

　　=t||2+(t2+1)·+t||2

　　=256t+(t2+1)×16×10×+100t

　　=80t2+356t+80.

　　由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在[1，+∞)上單調遞增，

　　所以當t=1時，k取得最小值516.