題型一　平面向量的線性運(yùn)算

　　例1　如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么=________.(用和表示)

　　破題切入點(diǎn)　順次連結(jié)，選好基底.

　　答案　-

　　解析　在△CEF中，有=+.

　　因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以=.

　　因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以=.

　　所以=+

　　=+

　　=-.

　　題型二　平面向量基本定理及其應(yīng)用

　　例2　如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知=c，=d，試用c，d表示，.

　　破題切入點(diǎn)　利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量.

　　解　在△ADM中，

　　=-=c-.①

　　在△ABN中，

　　=-=d-.②

　　由①②得=(2d-c)，=(2c-d).

　　題型三　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

　　例3　平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2)，b=(-1,2)，c=(4,1).

　　(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m，n;

　　(2)若(a+kc)∥(2b-a)，求實(shí)數(shù)k;

　　(3)若d滿足(d-c)∥(a+b)，且|d-c|=，求d.

　　破題切入點(diǎn)　向量坐標(biāo)表示下的線性運(yùn)算.

　　解　(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)，

　　所以得

　　(2)a+kc=(3+4k,2+k)，2b-a=(-5,2)，

　　由題意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0，

　　解得k=-.

　　(3)設(shè)d=(x，y)，則d-c=(x-4，y-1)，a+b=(2,4).

　　由題意得

　　得或

　　∴d=(3，-1)或(5,3).

　　總結(jié)提高　(1)平面向量的性線運(yùn)算主要包括加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，正確把握三角形法則和多邊形法則，準(zhǔn)確理解數(shù)與向量乘法的定義，這是解決向量共線問題的基礎(chǔ).

　　(2)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題，要注意其與數(shù)的運(yùn)算法則的共性與不同，兩者不能混淆，如向量的加法與減法要注意向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的確定，靈活利用三角形法則、平行四邊形法則.同時(shí)抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結(jié)合圖形分析;二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn).

　　1.已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，-1)，則與向量同方向的單位向量為________.

　　答案　(，-)

　　解析　由題意知=(3，-4)，

　　所以與同方向的單位向量為=(，-).

　　2.(2014·課標(biāo)全國Ⅰ改編)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則化簡：+=________.

　　答案

　　解析　如圖，+

　　=+++

　　=+=(+)

　　=·2=.

　　3.(2014·北京)已知向量a，b滿足|a|=1，b=(2,1)，且λa+b=0(λ∈R)，則|λ|=________.

　　答案

　　解析　∵λa+b=0，∴λa=-b，

　　∴|λa|=|-b|=|b|==，

　　∴|λ|·|a|=.

　　又|a|=1，∴|λ|=.

　　4.(2014·福建改編)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則化簡：+++=________.

　　答案　4

　　解析　因?yàn)辄c(diǎn)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知+=2，+=2，故+++=4.

　　5.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||=2，||=，||=2，若=λ+μ(λ，μ∈R)，則λ和μ的值分別為________.

　　答案　2，

　　解析　設(shè)與，同方向的單位向量分別為a，b，

　　依題意有=4a+2b，

　　又=2a，=b，

　　則=2+，

　　所以λ=2，μ=.

　　6.(2013·四川)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，+=λ，則λ=________.

　　答案　2

　　解析　由于ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴+==2，∴λ=2.

　　7.(2013·江蘇)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1+λ2的值為________.

　　答案

　　解析　如圖，=+=+=+(-)=-+

　　，則λ1=-，λ2=，λ1+λ2=.

　　8.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若=m，=n (m，n>0)，則+的最小值為________.

　　答案

　　解析　=-

　　=-=+.

　　同理=+，M，O，N三點(diǎn)共線，

　　故+=λ，

　　即+=0，由于，不共線，根據(jù)平面向量基本定理得--=0且-+=0，消掉λ即得m+n=2，

　　故+=(m+n)

　　=≥(5+4)=.

　　9.(2014·天津改編)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若·=1，·=-，則λ+μ=________.

　　答案

　　解析　∵=+λ，=+μ，

　　∴·=(+λ)·(+μ)

　　=·+μ·+λ·+λμ·

　　=2×2×(-)+4μ+4λ+2×2×(-)λμ

　　=-2+4(λ+μ)-2λμ=1.

　　∴2(λ+μ)-λμ=.①

　　∵·=(1-λ)·(1-μ)

　　=(λμ-λ-μ+1)·

　　=2×2×(-)(λμ-λ-μ+1)

　　=-2[λμ-(λ+μ)+1]=-，

　　∴λμ-(λ+μ)+1=，即λμ-(λ+μ)=-.②

　　由①②解得λ+μ=.

　　10.在平面內(nèi)，已知||=1，||=，·=0，∠AOC=30°，設(shè)=m+n(m，n∈R)，則=________.

　　答案　±3

　　解析　因?yàn)椤螦OC=30°，所以〈，〉=30°.

　　因?yàn)?m+n，·=0，

　　所以||2=(m+n)2

　　=m2||2+n2||2

　　=m2+3n2，

　　即||=.

　　又·=·(m+n)

　　=m2=m，

　　則·=||·||cos 30°=m，

　　即1××=m，

　　平方得m2=9n2，即=9，

　　所以=±3.

　　11.已知非零向量e1，e2不共線.

　　(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線;

　　(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值.

　　(1)證明　∵=e1+e2，

　　=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)

　　=5，

　　∴與共線，且有公共點(diǎn)B，

　　∴A、B、D三點(diǎn)共線.

　　(2)解　∵ke1+e2與e1+ke2共線，

　　∴存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，

　　則(k-λ)e1=(λk-1)e2.

　　由于e1與e2不共線，

　　只能有∴k=±1.

　　12.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，=t1+t2.

　　(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;

　　(2)求證：當(dāng)t1=1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線;

　　(3)若t1=a2，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)a的值.

　　(1)解　=t1+t2

　　=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).

　　當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，

　　有

　　故所求的充要條件為t2<0且t1+2t2≠0.

　　(2)證明　當(dāng)t1=1時(shí)，

　　由(1)知=(4t2,4t2+2).

　　∵=-=(4,4)，

　　=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2，

　　∴不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)共線.

　　(3)解　當(dāng)t1=a2時(shí)，=(4t2,4t2+2a2).

　　又=(4,4)，⊥，

　　∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0，

　　∴t2=-a2，故=(-a2，a2).

　　又||=4，

　　點(diǎn)M到直線AB：x-y+2=0的距離

　　d==|a2-1|.

　　∵S△ABM=12，

　　∴|AB|·d=×4×|a2-1|=12，

　　解得a=±2，故所求a的值為±2.