題型一 活用正、余弦定理求解三角形問題
例1 (1)(2013·遼寧改編)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b，且a>b，則B=________.
(2)在△ABC中，acos A=bcos B，則△ABC的形狀為________.
破題切入點(diǎn) (1)先由正弦定理對(duì)已知三角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用三角恒等變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可求得sin B的值，再結(jié)合a>b的條件即可判斷得出結(jié)果.
(2)可以先利用余弦定理將條件化為邊的形式，再進(jìn)行判斷;或者先利用正弦定理將條件化為角的形式，再轉(zhuǎn)化判斷即可.
答案 (1) (2)等腰三角形或直角三角形
解析 (1)由條件得sin Bcos C+sin Bcos A=，
依正弦定理，得sin Acos C+sin Ccos A=，
∴sin(A+C)=，從而sin B=，
又a>b，且B∈(0，π)，因此B=.
(2)方法一 因?yàn)閍cos A=bcos B，
所以由余弦定理，得a×=b×，
即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，
所以(a2+b2-c2)(a2-b2)=0.
所以a2+b2=c2或a=b.
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.
方法二 因?yàn)閍cos A=bcos B，
由正弦定理，得sin Acos A=sin Bcos B，
所以sin 2A=sin 2B.
又A，B為△ABC的內(nèi)角，
所以2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=.
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.
題型二 正、余弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用技巧
例2 (2013·江蘇)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量cos A=，cos C=.
(1)求索道AB的長(zhǎng);
(2)問：乙出發(fā)多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
破題切入點(diǎn) (1)在△ABC中，已知兩角及一邊長(zhǎng)，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及三角形內(nèi)角和求得第三個(gè)角，再由正弦定理即可求得AB的長(zhǎng);
(2)設(shè)出在乙出發(fā)t min后甲、乙距離最短時(shí)所行走的距離，再利用余弦定理即可求得結(jié)果;
(3)在△ABC中，利用正弦定理求得BC的長(zhǎng)，再分別計(jì)算出甲、乙到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間，然后由甲、乙在C處相互等待不超過3 min為條件列出不等式計(jì)算即可求得.
解 (1)在△ABC中，因?yàn)閏os A=，cos C=，
所以sin A=，sin C=.
從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×+×=.
由正弦定理=，得
AB=×sin C=×=1 040(m).
所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.
(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(100+50t)m，乙距離A處130t m，
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
=200(37t2-70t+50)，
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故當(dāng)t=(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.
(3)由正弦定理=，
得BC=×sin A=×=500(m).
乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(2+8+1)=550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.
設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得-3≤-≤3，解得≤v≤，
所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi).
題型三 解三角形中相關(guān)交匯性問題
例3 已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量m=(sin B,1-cos B)與向量n=(2,0)的夾角θ的余弦值為.
(1)求角B的大小;
(2)若b=，求a+c的范圍.
破題切入點(diǎn) (1)根據(jù)向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及二倍角公式進(jìn)行恒等變形即可解決問題;
(2)消元后，利用兩角和的正弦公式把sin A+sin C化為sin(A+)，并求出sin(A+)的取值范圍，再根據(jù)正弦定理，求出a+c的范圍，也可以利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出a+c的范圍.
解 (1)因?yàn)閙=(sin B,1-cos B)，n=(2,0)，
所以m·n=2sin B.
又|m|=
=
=
= =2|sin |，
因?yàn)?0，因?yàn)閨m|=2sin .
而|n|=2，
所以cos θ==
==cos ，
即cos =.
由0b=，所以
