題型一 三角函數(shù)的圖象
例1 (2013·四川改編)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，-<φ<)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是________.
破題切入點(diǎn) 考查“五點(diǎn)作圖法”的逆用，由圖象求解析式，先看周期，再看什么時(shí)候取得最值以及函數(shù)零點(diǎn)等.
答案 2，-
解析 T=-，T=π，∴ω=2，
∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，
∴φ=2kπ-，k∈Z.
又φ∈，∴φ=-.
題型二 三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)
例2 (2013·山東)設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2ωx-sin ωx·cos ωx(ω>0)，且y=f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
破題切入點(diǎn) (1)先根據(jù)倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式將f(x)的解析式化簡(jiǎn)為“一角一函數(shù)名”的形式，然后根據(jù)“y=f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心到最近的對(duì)稱(chēng)軸的距離為”確定該函數(shù)的周期，代入周期公式即可求出ω的值;
(2)先根據(jù)(1)確定函數(shù)解析式，然后利用給定區(qū)間確定f(x)的區(qū)間，根據(jù)該函數(shù)在區(qū)間上的圖象即可確定所求函數(shù)的最值.
解 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx
=-×-sin 2ωx
=cos 2ωx-sin 2ωx
=-sin.
依題意知=4×，ω>0，所以ω=1.
(2)由(1)知f(x)=-sin.
當(dāng)π≤x≤時(shí)，≤2x-≤.
所以-≤sin≤1.
所以-1≤f(x)≤.
故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，-1.
題型三 三角函數(shù)圖象的變換
例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)，其中ω>0，且函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離等于.若函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則最小正實(shí)數(shù)m=________.
破題切入點(diǎn) 由相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間距離得出周期進(jìn)而求出ω，再由平移后為偶函數(shù)得出m的最小值.
答案
解析 依題意，可得=，
又T=，故ω=3，
所以f(x)=sin(3x+).
函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為
g(x)=sin[3(x+m)+].
g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m+=kπ+(k∈Z)，
即m=+(k∈Z)，
從而最小正實(shí)數(shù)m=.
總結(jié)提高 (1)利用三角函數(shù)圖象確定解析式的基本步驟：①最值定A：即根據(jù)給定函數(shù)圖象確定函數(shù)的最值即可確定A的值.②周期定ω：即根據(jù)給定函數(shù)圖象的特征確定函數(shù)的周期，利用周期計(jì)算公式T=求解ω.③最值點(diǎn)定φ：即根據(jù)函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求解φ的取值，注意利用中心點(diǎn)求解φ時(shí)，要驗(yàn)證該點(diǎn)所在的單調(diào)區(qū)間以確定φ，否則會(huì)產(chǎn)生增解.
(2)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)主要包括：定義域、值域、對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、周期性和單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性注意各三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸，求解奇偶性時(shí)首先應(yīng)利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成最簡(jiǎn)再去研究，周期性的求解注意公式中應(yīng)為|ω|而不是ω，單調(diào)性要將x的系數(shù)化成正的.本部分題目注意要將ωx+φ當(dāng)作一個(gè)整體.
(3)對(duì)于三角函數(shù)圖象變換問(wèn)題，平移變換規(guī)則是“左加右減上加下減”并且在變換過(guò)程中只變換其中的自變量x，要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位和方向，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的名稱(chēng)不同時(shí)，首先要將函數(shù)名稱(chēng)統(tǒng)一，其次把ωx+φ寫(xiě)成ω(x+)最后確定平移的單位和方向.伸縮變換時(shí)注意敘述為“變?yōu)樵瓉?lái)的”這個(gè)字眼，變換的倍數(shù)要根據(jù)橫向和縱向，要加以區(qū)分.
1.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k(0<φ<)的最大值為4，最小值為0，最小正周期為，直線(xiàn)x=是其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，則函數(shù)解析式為_(kāi)_______.
答案 y=2sin(4x+)+2
解析 由題意得解得
又函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的最小正周期為，
所以ω==4，所以y=2sin(4x+φ)+2.
又直線(xiàn)x=是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，
所以4 ×+φ=kπ+(k∈Z)，
所以φ=kπ-(k∈Z)，
又∵0<φ<，故φ=.
故得y=2sin(4x+)+2.
2.已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+sin ωx·cos ωx，x∈R，又f(α)=-，f(β)=，若|α-β|的最小值為，則正數(shù)ω的值為_(kāi)_______.
答案
解析 f(x)=+sin 2ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=sin(2ωx-)+，
又由f(α)=-，f(β)=，
且|α-β|的最小值為可知T=3π，于是ω=.
3.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<)的圖象如圖所示，為了得到g(x)=sin 3x的圖象，則只要將f(x)的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度.(答案不唯一)
答案 右
解析 由題意，得函數(shù)f(x)的周期T=4=，ω=3，所以sin=-1，又|φ|<，所以φ=，所以f(x)=sin=sin，所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)g(x)=sin 3x的圖象.
4.已知函數(shù)f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0，|φ|<)，y=f(x)的部分圖象如圖所示，則f()=________.
答案
解析 由圖象知，T==2(-)=，ω=2.
由2×+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ=.由Atan(2×0+)=1，
知A=1，∴f(x)=tan(2x+)，
∴f()=tan(2×+)=tan=.
5.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，]上單調(diào)遞減，則ω=________.
答案
解析 由題意知f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=，和它相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)，則f(x)的周期T=，從而ω=.
6.將函數(shù)f(x)=-4sin的圖象向右平移φ個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，所得圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，則φ的最小正值為_(kāi)_______.
答案 π
解析 依題意可得y=f(x)
y=-4sin[2(x-φ)+]=-4sin[2x-(2φ-)]
y=g(x)=-4sin[4x-(2φ-)]，
因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，
所以g=±4，
得φ=π+π(k∈Z).
故φ的最小正值為.
7.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同.若x∈[0，]，則f(x)的取值范圍是________.
答案 [-，3]
解析 ∵f(x)和g(x)的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，
∴二者的周期相同，即ω=2，
f(x)=3sin(2x-).
∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
sin(2x-)∈[-，1]，
∴f(x)∈[-，3].
8.(2014·北京)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f=f=-f，則f(x)的最小正周期為_(kāi)_______.
答案 π
解析 ∵f(x)在上具有單調(diào)性，
∴≥-，
∴T≥.
∵f=f，
∴f(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x==.
又∵f=-f，
∴f(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為=.
∴T=-=，∴T=π.
9.函數(shù)f(x)=sin(x∈R)的圖象為C，以下結(jié)論正確的是________.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào))
�、賵D象C關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng);
�、趫D象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);
�、酆瘮�(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù);
�、苡蓎=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.
答案�、佗冖�
解析 當(dāng)x=時(shí)，f=sin=sin=sin =-1，為最小值，所以圖象C關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，所以①正確;當(dāng)x=時(shí)，f=sin=sin π=0，圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以②正確;當(dāng)-≤x≤時(shí)，-≤2x-≤，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以③正確;y=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin 2=sin，所以④錯(cuò)誤，所以正確的是①②③.
10.已知函數(shù)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-(ω>0)，直線(xiàn)x=x1，x=x2是y=f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱(chēng)軸，且|x1-x2|的最小值為.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，若關(guān)于x的方程g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解 (1)f(x)=sin 2ωx+-
=sin 2ωx+cos 2ωx=sin，
由題意知，最小正周期T=2×=，
T===，所以ω=2，所以f(x)=sin.
(2)將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=sin的圖象，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin的圖象.
所以g(x)=sin.
令2x-=t，∵0≤x≤，∴-≤t≤.
g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g(x)=sin t與y=-k在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn).如圖，
由正弦函數(shù)的圖象可知-≤-k<或-k=1.
所以-0，ω>0)，g(x)=tan x，它們的最小正周期之積為2π2，f(x)的最大值為2g().
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)h(x)=f2(x)+2cos2x.當(dāng)x∈[a，)時(shí)，h(x)有最小值為3，求a的值.
解 (1)由題意，得·π=2π2，
所以ω=1.
又A=2g()=2tan π=2tan =2，
所以f(x)=2sin(x+).
令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z)，
得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+](k∈Z).
(2)因?yàn)閔(x)=f2(x)+2cos2x
=×4×sin2(x+)+2cos2x
=3(sin x+cos x)2+2cos2x
=3+3sin 2x+(cos 2x+1)
=3++2sin(2x+)，
又h(x)有最小值為3，
所以有3++2sin(2x+)=3，
即sin(2x+)=-.
因?yàn)閤∈[a，)，所以2x+∈[2a+，)，
所以2a+=-，即a=-.
